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2018-2019学年重庆市高一(上)期中数学试题(解析版)

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    • 1、2018-20192018-2019 学年重庆市南开中学高一(上)期中数学试卷学年重庆市南开中学高一(上)期中数学试卷 一、选择题(本大题共一、选择题(本大题共 1212 小题,共小题,共 60.060.0 分)分) 1.设集合 A=1,1,2,集合 B=x|xA 且 2xA,则 B= A. 1 B. 2 C. 1,2 D. 1,2 【答案】C 【解析】 【分析】 根据元素与集合的关系直接进行判断. 【详解】集合 Bx|xA 且 2xA,集合 A1,1,2, 当 x1 时,可得 2(1)3A; 当 x1 时,可得 211A; 当 x2 时,可得 220A; B1,2; 故选:C 【点睛】本题主要考查元素与集合的关系,属于基础题 2.函数的定义域为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据根号下的式子非负,分母不等于 0,列出不等关系,解得函数的定义域即可 【详解】由题意得:, 解得:1x3, 故选:D 【点睛】本题考查了求函数的定义域问题,考查二次根式及分式的性质,是一道基础题 3.下列各组的两个函数为相等函数的是 A. , B. , C. , D. , 【答案】D

      2、 【解析】 A 中,f(x)的定义域为x|x1,g(x)的定义域为x|x1 或 x1,它们 的定义域不相同;B 中,f(x)()2的定义域为,g(x)2x5 的定义域为 R,定义域不同, 不是相等函数C 中,f(x)与 g(x)的对应关系不同,不相等D 中,f(x)x(x0) 与 g(x)t(t0)的定义域与对应关系都相同,它们相等,故选 D. 4.已知函数,且,则 A. B. C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】 根据题意,先由换元法求出函数的解析式,结合函数的解析式可得若 f(a)5,即 4a+35,解可得 a 的 值,即可得答案 【详解】根据题意,函数 f( x1)2x1, 令 tx1,则 x2(t+1), 则 f(t)4(t+1)14t+3, 若 f(a)5,即 4a+35,解可得 a; 故选:B 【点睛】本题考查函数的解析式的求法及函数值的运算,属于基础题 5.函数的图象为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 分离常数,结合反比例函数的图象可得答案; 【详解】函数 y; 可得 x, 0, y 又 x3 时,y0 结合反比例函数的图象,可得 x

      3、时,函数图象单调性递减; 故选:C 【点睛】本题考查了函数图象变换及函数图像的识别,是基础题 6.已知函数是R上的奇函数,当时,则 A. B. 0 C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据题意,由函数的解析式可得 f( )的值,又由函数的奇偶性可得 f()f( ) ,进而可得答案 【详解】根据题意,当 x0 时,f(x)4x+x, 则 f( )1, 又由函数为奇函数, 则 f()f( )1; 故选:A 【点睛】本题考查函数的奇偶性的应用,涉及函数的求值,属于基础题 7.函数,的值域为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 可令,根据 x 的范围,可求出,并求出 xt21,原函数变成 y2(t21)3t,配方即可 求出该函数的最值,从而得出 f(x)的值域 【详解】令; ; ; xt21; ; 时,f(x)取最小值;t2 时,f(x)取最大值 0,但是取不到; f(x)的值域为: 故选:C 【点睛】考查函数值域的概念及求法,换元法求函数的值域以及配方求二次函数值域的方法 8.已知是奇函数且在R上的单调递减,若方程只有一个实数解,则实数m的值是 A. B. C

      4、. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由已知函数的奇偶性与单调性把方程 f(x2+1)+f(mx)0 只有一个实数解转化为方程 x2x+m+10 只有 一个实数解,再由判别式等于 0 求得 m 值 【详解】f(x)是奇函数, 由 f(x2+1)+f(mx)0,得 f(x2+1)f(mx)f(xm), 又 f(x)在 R 上的单调递减, x2+1xm,即 x2x+m+10 则(1)24(m+1)0,解得 m 故选:B 【点睛】本题考查函数的零点与方程根的关系,考查数学转化思想方法,是基础题 9.已知开口向上的二次函数对任意都满足,若在区间上单调递减,则实数a 的取值范围为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 求出函数的对称轴,根据函数的单调性得到关于 a 的不等式,解出即可 【详解】由题意函数的对称轴是 x,图象开口向上, 若 f(x)在区间(a,2a1)上单调递减, 则只需2a1,解得:a, 而 a2a1,解得:a1, 故选:B 【点睛】本题考查了二次函数的性质,考查函数的单调性问题,是一道基础题 10.已知是定义在上的偶函数,若对任意的,都满足,则 不等式的解

      5、集为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据题意,由函数为偶函数可得 f(x+1)f(2x1)0f(|x+1|)f(|2x1|) ,进而分析可得在0,+)上 为增函数,据此可得|x+1|2x1|,解可得 x 的取值范围,即可得答案 【详解】根据题意,f(x)是定义在(,+)上的偶函数, 则 f(x+1)f(2x1)0f(|x+1|)f(|2x1|), 若 f(x)对任意的 x1,x20,+)(x1x2)都满足0, 则函数 f(x)在0,+)上为增函数, 则 f(|x+1|)f(|2x1|)|x+1|2x1|, 变形可得:(x+1)2(2x1)2, 解可得:x0 或 x2, 即不等式的解集为(,0)(2,+) ; 故选:C 【点睛】本题考查函数奇偶性、单调性的性质以及应用,关键是得到关于 x 的不等式,属于基础题 11.已知函数,若存在实数x,使得与均不是正数,则实数m的取 值范围是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 存在实数 x,f(x)与 g(x)的值均不是正数,所以对 m 分类讨论,即 m0、m0、m0 讨论 f(x)与 g(x) 的值的

      6、正负,求出满足题意的 m 的值 【详解】分 3 类讨论 m0 时,对于任意 x,g(x)0 而 f(x)2(x+1)2+2 值恒正,不满足题意 m0 时,对于 x0 时,g (x)0 成立, 只需考虑 x0 时 f(x)的情况,由于函数 f(x)2x2+(4m)x+4m, 当4m4 时,0故4m0,不满足, m4 时,由于对称轴在 y 轴左侧,故只需满足 f(0)0 即可,即 m4,不满足题意 当 m0 时,g (x)0 在 x0 时成立,只需考虑 x0 时 f(x)的情况,故只需满足,解得 m4,又当 m4 时,f(x)2x2,g(x)4x,存在 x0 满足条件, 综上所述 m 取值范围为 m4 故选:A 【点睛】本题考查一元二次方程的根的分布与系数的关系,考查分类讨论思想,转化思想,是中档题 12.已知函数,若关于x的不等式恰有一个整数解,则实数a的最大值 为 A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】 画出函数 f(x)的图象,对 b,a 分类讨论,利用一元二次不等式解法可得解集,再利用数形结合即可得 出 【详解】函数 f(x),如图所示, 当 b0

      7、时,f(x)2+af(x)b20 化为 f(x)2+af(x)0, 当 a0 时,af(x)0, 由于关于 x 的不等式f(x)2+af(x)0 恰有 1 个整数解, 因此其整数解为 2,又 f(2)4+22, a20,af(3)6, 则 6a2, a0 不必考虑 当 b0 时,对于f(x)2+af(x)b20, a2+4b20, 解得:f(x), 只考虑 a0, 则0, 由于 f(x)0 时,不等式的解集中含有多于一个整数解(例如,0,1) ,舍去 综上可得:a 的最大值为 6 故选:C 【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法、二次函数的图象,考查了分类讨论方法、数形结合方法与计 算能力,属于中档题 二、填空题(本大题共二、填空题(本大题共 4 4 小题,共小题,共 20.020.0 分)分) 13.已知,则_ 【答案】 【解析】 【分析】 根据题意,由函数的解析式计算 f( ),再次代入函数的解析式计算可得答案 【详解】根据题意,f(x), 则 f( ), 则 f(); 故答案为: 【点睛】本题考查分段函数的求值,关键掌握函数的解析式,属于基础题 14.函数的单调减区间为_ 【答案

      8、】 【解析】 【分析】 根据所给函数式,讨论去掉绝对值,得到一个分段函数,利用二次函数的单调性即可得到减区间 【详解】当 x2 时,f(x)x22x, 当 x2 时,f(x)x2+2x, 故函数 f(x) f(x)x22x 的对称轴为:x1,开口向上,x2 时是增函数; f(x)x2+2x,开口向下,对称轴为 x1, 则 x1 时函数是增函数,1x2 时函数是减函数 即有函数的单调减区间是1,2 故答案为:1,2 【点睛】本题考查二次函数的性质,解题的关键是去掉绝对值,把函数化成基本初等函数,再通过函数的 性质或者图象得到结果 15.设函数是定义在R上的奇函数,若在单调递减,则不等式的解 集为_ 【答案】 【解析】 【分析】 根据题意,分析可得在区间(0,2)或(,2)上,f(x)0;在(2,+)或(2,0)上, f(x)0,又由原不等式等价于或,分析可得不等式的解集,即可得答案 【详解】根据题意,函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且在(0,+)单调递减, 又由 f(2)0,则 f(2)f(2)0, 则在区间(0,2)上,f(x)0,则(2,+)上,f(x)0, 又由 f(x)为

      9、 R 上的奇函数,则在区间(,2)上,f(x)0,则(2,0)上,f(x)0, 则在区间(0,2)或(,2)上,f(x)0;在(2,+)或(2,0)上,f(x)0,(x+1) f(x1)0或, 解可得:1x3, 即 x 的取值范围为(1,3) ; 故答案为:(1,3) 【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用,注意将原不等式转化为关于 x 的不等式,属于基础 题 16.已知函数对任意的实数x,y都满足且,则的值为 _ 【答案】 【解析】 【分析】 可令 xy0,计算可得 f(0)1,再令 xy1,求得 f(2) ;令 x0,y1,求得 f(1) ,再令 xy1,求得 f(2) ,即可得到所求和 【详解】对任意的实数 x,y 都满足 f(x+y)+f(xy)2f(x)f(y)且 f(1), 令 xy0,可得 f(0)+f(0)2f(0)f(0), 可得 f(0)0 或 f(0)1, 若 f(0)0,可令 y0,则 f(x)+f(x)2f(x)f(0)0,即 f(x)0,这与 f(1)矛盾, 则 f(0)0 不成立,则 f(0)1, 令 xy1,可得 f(2)+f(0)2f(1)f(1), 可得 f(2)21, 令 x

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