北京市西城区41中2016-2017学年高二上学期期中考试数学试题（解析版）

1、高二年级数学（理科）试题高二年级数学（理科）试题 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1010 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 5050 分在每小题给出的四个选项中，只有分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合要求的一项是符合要求的 1.如果点 在直线 上，而直线 又在平面 内，那么可以记作（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 直线上有无数个点，直线可看成点的集合， 点 在直线 上，可记作， 直线 在平面 内，可记作， 故选 2. 以下命题正确的有 ； A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 试题分析：由线面垂直的判定定理可知结论正确；由线面垂直的性质可知结论正确；中的关系 可以线面平行或直线在平面内；中直线可以与平面平行，相交或直线在平面内 考点：空间线面平行垂直的判定与性质 3.在下列命题中，正确的命题是（ ） A. 如果平面 内的一条直线 垂直于平面 内的任一直线，那么 B. 如果平面 内一直线平行于平面 ，那么 C. 如果平面平面 ，任取直线，那么必有 D. 如果平面平面 ，直线，那么必有 【答案】A 【解析】 项

2、正确 项可能存在平面 与平面 相交的情况， 项可能存在， 项可能存在 与 是异面直线， 故选 4.一个简单几何体的主视图、左视图如图所示，则其俯视图可能为长方形；正方形；圆；椭 圆其中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 由主视图、左视图可知，俯视图可能是长为 宽为 的长方形， 也可能是椭圆， 故选 点睛: 思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等” 的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何 体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看 俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高 度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整. 5. 下列命题中，真命题是 A. 空间不同三点确定一个平面 B. 空间两两相交的三条直线确定一个平面 C. 两组对边相等的四边形是平行四边形 D. 和同一直线都相交的三条平行线在同一平面内 【答案】D 【解析】 A 错误。空间不共线三点确定一个平面

3、； B 错误。如三棱锥的一个顶点出发的三条棱所在的直线不能确定一个平面； C 错误。正四面体的两组对棱构成的四边形不是平行四边形； D 正确。 6.如果平面 外有两点 、 ，它们到平面 的距离都是 ，则直线和平面 的位置关系一定是（ ） A. 平行 B. 相交 C. 平行或相交 D. 【答案】C 【解析】 若两点在平面 同侧，则直线与平面 平行， 若在异侧，则直线与平面 相交， 故选 7.如图，在正方体中，若 是的中点，则直线垂直于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 试题分析：在正方体中， 是的中点，设 是的交点，则， ，又，故选 B。 考点：空间中的垂直关系 8.若正四棱锥的正视图和俯视图如图所示，则该几何体的表面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 底面积：， 侧面积：， 表面积， 故选 9.已知六棱锥的底面是正六边形，平面则下列结论不正确的是（ ） A. 平面 B. 平面 C. 平面 D. 平面 【答案】D 【解析】 六棱锥 的底面是正六边形，平面则，由线面平行的判定定理，可得平面 ，故 A 正确； ，由线面垂直的判定定理可得平面，故 B 正

4、确；，由线面 平行的判定定理，可得 平面，故 C 正确； 与不垂直，故 D 中， 平面不正确；故选 D. 10.在棱长为 的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方形，则截去 个三棱锥后，剩下的 几何体的体积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 每个三棱锥的体积， 剩下几何体的体积， 故选 点睛:求体积的一些特殊方法分割法、补形法、等体积法. 割补法：求一些不规则几何体的体积时， 常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决等积法：等积法包括等面积法和等体积法等积法 的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的 高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三 棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 6 6 小题，每小题小题，每小题 4 4 分，共分，共 2424 分分 11.若 ， 是异面直线，直线，则 与 的位置关系是_ 【答案】可能异面，可能相交 【解析】 若，则由可得到，与 ， 是两条异面直线矛盾，所以 与 可

5、能相交； 也可能异面，不可能平行，故 与 的位置关系为相交或异面 12.圆锥的底面半径是 ，高为 ，则它的侧面积是 【答案】 【解析】 试题分析：由题圆锥的母线长为，则它的侧面积是 考点：圆锥的侧面积 13.如果棱长为的正方体的八个顶角都在同一个球面上，那么球的表面积是_ 【答案】 【解析】 设球半径为 ，则， ， 球的表面积 故填. 14.如图，在四棱锥中，平面，且四边形是矩形，那么该四棱锥的两个侧面中是直角 三角形的有_个 【答案】4 【解析】 平面， ， ，是直角三角形， 又在矩形中， ， ， 平面， 平面， ， ，是直角三角形， 、共 个直角三角形 故填 4. 15.下列命题正确的有_ 若直线与平面有两个公共点，则直线在平面内； 若直线 上有无数个点不在平面 内，则 与平面 平行； 若直线 与平面 相交，则 与平面 内的任意直线都是异面直线； 如果两条异面直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线一定与该平面相交； 若直线 与平面 平行，则 与平面 内的直线平行或异面 【答案】 【解析】 正确； 错误，直线 与平面 相交时，仍有无数个点不在平面 内 错误，直线 与平面 内过该交点

6、的直线不是异面直线 错误，另一条直线可能在该平面内 正确 故填. 16.已知是等腰直角三角形，是斜边上的高，以为折痕使成直角在折 起后形成的三棱锥中，有如下三个结论： 直线平面； 侧面是等边三角形； 三棱锥的体积是其中正确结论的序号是_ （写出全部正确结论的序号） 【答案】 【解析】 ， 点， ，平面， 平面 在中， ， ， 同理可得， 是等边三角形 三棱锥底面是， ， ， ， 综上均正确 故填. 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 3 3 小题，共小题，共 2626 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17.如图，在四棱锥中，底面，底面为矩形，点 为的中点 （I）求证：平面 （II）求证：平面 【答案】(1)详见解析;(2)详见解析. 【解析】 试题分析:(1) 矩形中，又底面，根据线面垂直的判定定理可得 平面;(2) 设与的交点为 ，连接，可得,由线面平行的判定定理即可证明. 试题解析: （I）在矩形中， ， 又底面， ， 点， ，平面， 平面 （II）设与的交点为 ， 连接， 、 分别是、中点， ， 平面， 平面， 平面 点睛:

7、 直线与平面平行的定义：如果直线 与平面 没有公共点，则直线 与平面 平行，记作;直线与平 面平行的判定定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线互相平行，则该直线与此平面平行; 判定直线 和平面垂直的方法:定义法利用判定定理：一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线 和此平面垂直推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个 平面 18.如图，正三棱柱中， 是的中点 （I）求证：平面平面 （II）求证：平面 【答案】(1)详见解析;(2)详见解析. 【解析】 【详解】试题分析:(1) 正三角形中，,又,由线面垂直的判定定理可得平面 ，进而可得平面平面;(2) 取中点 ，连接，因为,由线面平行 的判定定理可得平面 试题解析: （I）在正三角形中， 是中点， ， 又在正三棱柱中， 平面， 平面， ， 点， ，平面， 平面， 平面， 平面平面 （II）取中点 ，连接， 、 分别是，中点， ， 平面， 平面， 平面 19.如图，三棱锥的三个侧面均为边长是 的等边三角形， 分别为，的中点 （I）求的长 （II）求证： （III）求三棱锥的表面积 【答案】(

8、1) ;(2)详见解析;(3) . 【解析】 试题分析:(1) 连接，等边中，同理可得，等腰 中，;(2)由线面垂直的判定定理证明平面，则; (3) 三棱锥的三个侧面均为边长为 的等边三角形，底面仍为边长为 的等边三角形，分别求 出各面的面积求和即三棱锥的表面积. 试题解析: （I）连接， 在等边中， 是边上中点， ， ， 同理可得， 在等腰中， 为边上中点， ， （II）证明：， 点， 、平面， 平面， （III）三棱锥的三个侧面均为边长为 的等边三角形， 则底面中， 底面仍为边长为 的等边三角形， 表面积 【B【B 卷卷】 一、选择题（每题一、选择题（每题 5 5 分，共分，共 3030 分分 ） 20.在空间四边形中，等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 ， ， 故选 21.下列各组向量平行的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 项， ， 即 故选 A. 22.已知向量，则等于_ 【答案】 【解析】 ， ， 故填. 23.已知点，则点 关于 轴对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 关于 轴对称后

9、 故选 B. 24.已知，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 ， ， ， 解得 故选 C. 点睛: 平面向量数量积的类型及求法:(1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式a ab b|a a|b b|cos ；二是坐标公式a ab bx1x2y1y2；三是利用数量积的几何意义.(2)求较复杂的平面向量数量积的运算 时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简. 25.已知，则向量与的夹角为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 略 二、解答题：本大题共二、解答题：本大题共 2 2 小题，共小题，共 2020 分解答写出文字说明，证明过程或演算步骤分解答写出文字说明，证明过程或演算步骤 26.（用空间向量方法）如图，正方体的棱长为 ， 为棱的中点 （I）求与所成角的大小 （II）求与平面所成角的正弦值 （III）求平面与平面所成角的余弦值 【答案】(1) ;(2) ;(3) . 【解析】 试题分析:(1)建立空间直角坐标系如图所示,求出和的坐标,代入,求出结果即可;(2) 写出 的坐标,平面是一个法向量，与平面所成角的正弦值为的绝对值;(3) 求出平面的法向量,代入公式即可. 试题解析: （I）如图以 为坐标原点， 以，分别为 ， ， 轴， 建立空间直角坐标系， ， ， ， ， ， ， 由图知，与成角为

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