河南省开封市2019届高三上学期第一次模拟考试数学（理）试题（解析版）

1、开封市开封市 20192019 届高三第一次模拟考试届高三第一次模拟考试 数学（理科）试题数学（理科）试题 第第卷卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1212 个小题个小题, ,每小题每小题 5 5 分分, ,共共 6060 分分. .在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的. . 1.已知集合，则 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 化简集合 A，B，利用交并补运算得到结果. 【详解】由题意易得：， , , 故选：C 【点睛】本题考查集合的交、并、补的基本运算，指数函数与对数函数的性质，考查计算能力 2.已知复数 满足，则复平面内与复数 对应的点在 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】 把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出 z 的坐标得答案 【详解】由得 ， 复数 z 在复平面内对应的点的坐标为（，） ，在第四象限 故选：D 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题 3.已知函数

2、，则下列说法正确的是 A. 的最小正周期为 B. 的最大值为 2 C. 的图像关于 轴对称 D. 在区间上单调递减 【答案】C 【解析】 【分析】 利用余弦型函数的图像与性质逐一判断即可. 【详解】f（x）sin4xcos4xsin2xcos2xcos2x， 函数的最小正周期 T， f（x）cos（2x）cos2xf（x）， f（x）为偶函数，其图象关于 y 轴对称， f（x）cos2x 在 ， 上单调递减，故 f（x）cos2x 在 ， 上单调递增 故选：C 【点睛】本题考查余弦函数的单调性、对称性以及最值，三角函数的周期公式，以及平方关系、二倍角的 余弦公式的应用，熟练掌握函数的性质与公式是解题的关键 4.已知等比数列中，有，数列是等差数列，其前 项和为，且，则 A. 26 B. 52 C. 78 D. 104 【答案】B 【解析】 【分析】 设等比数列的公比为 q，利用等比性质可得，即，再结合，即可得到结果. 【详解】设等比数列的公比为 q，0，解得 4， 数列是等差数列，且 故选：B 【点睛】本题考查了等比数列与等差数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档 题

3、 5.已知直线 ， 和平面 ，则“”是“”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 试题分析：直线，平面，且，若，当时，当时不能得出结论， 故充分性不成立；若，过 作一个平面，若时，则有，否则不成立，故 必要性也不成立由上证知“”是“”的既不充分也不必要条件，故选 D 考点：1、线面平行；2、命题的充分必要条件 6.某几何体的三视图如图所示，其中正视图中的曲线为圆弧，则该几何体的体积为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 首先确定空间几何体的结构特征，然后利用体积公式确定其体积即可. 【详解】由题意可知，题中的结合体是一个正方体去掉四分之一圆柱所得的组合体， 其中正方体的棱长为 4，圆柱的底面半径为 2，高为 4， 则组合体的体积：. 本题选择 B 选项. 【点睛】(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线 面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常 用等积法、分割法、补形法等方法进行求解 7.已

4、知函数若，则 的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 依题意，对 a 分 a与 a讨论，再解相应的不等式即可 【详解】， 或 即或 即 的取值范围是 故选：B 【点睛】本题考查分段函数的图象与性质的应用，突出考查分类讨论思想与方程思想的综合应用，属于中 档题 8.若 ， 满足约束条件则的取值范围为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 问题转化为在约束条件下目标函数的取值范围，作出可行域由斜率公式数形结合可得 【详解】作出 x，y 满足约束条件的可行域如图： ABC，表示区域内的点与点（2，0）连线的斜率， 联方程组可解得 B（2，2） ，同理可得 A（2，4）， 当直线经过点 B 时，M 取最小值：， 当直线经过点 A 时，M 取最大值1 则的取值范围：，1 故选：A 【点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需 要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线 的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得. 9.已知数列中，利用

5、下面程序框图计算该数列的项时，若输出的是 2，则判断框内的 条件不可能是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 本程序框图为“当型“循环结构，判断框内为满足循环的条件，模拟程序的运行过程知，该程序运行时计 算 A 的值是以 3 为周期的函数，当程序运行后输出 A2 时求出满足题意的选项即可 【详解】通过分析，本程序框图为“当型“循环结构， 判断框内为满足循环的条件， 循环前，A，n1； 第 1 次循环，A121，n1+12； 第 2 次循环，A1+12，n2+13； 第 3 次循环，A1，n3+14； 所以，程序运行时计算 A 的值是以 3 为周期的函数， 当程序运行后输出 A2 时，n 能被 3 整除，此时不满足循环条件 分析选项中的条件，满足题意的 C 故选：C 【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点： (1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循 环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺

6、序, （6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出 条件即可. 10.已知的内角， 为所在平面上一点，且满足，设 ，则的值为 A. B. 1 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】 由题意结合三点共线的充分必要条件讨论的最大值即可. 【详解】由题意可知，O 为ABC 外接圆的圆心，如图所示，在圆 中，所对的圆心角为， ，点 A,B 为定点，点 为优弧上的动点，则点满足题中的已知条件， 延长交于点 ，设， 由题意可知：， 由于三点共线，据此可得：，则， 则的最大值即的最大值， 由于为定值，故最小时，取得最大值， 由几何关系易知当是，取得最小值，此时. 本题选择 A 选项. 【点睛】 本题主要考查数形结合解题，三点共线的充分必要条件，数形结合的数学思想，等价转化的数学思想等知 识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 11.已知 是双曲线上一点，且在 轴上方，分别是双曲线的左、右焦点， 直线的斜率为，的面积为，则双曲线的离心率为 A. 3 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 利用三角形的面积求出 P 的纵坐标，通过

7、直线的斜率，求出 P 的横坐标，然后求解 a，c，然后求解双曲线 的离心率即可 【详解】P 是双曲线1（a0，b0）上一点，且在 x 轴上方，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点， |F1F2|12，c6， PF1F2的面积为 24，可得 P 的纵坐标 y 为：，y4直线 PF2的斜率为4， 所以 P 的横坐标 x 满足：，解得 x5，则 P（5，4）， |PF1|13， |PF2|7， 所以 2a137，a3， 所以双曲线的离心率为：e2 故选：B 【点睛】求离心率的常用方法有以下两种： （1）求得的值，直接代入公式求解； （2）列出关于的齐次方程(或不等式)，然后根据，消去 后转化成关于 的方程(或不等式)求 解 12.有四根长都为 2 的直铁条，若再选两根长都为 的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个对棱 相等的三棱锥形的铁架，则此三棱锥体积的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 本题考查了学生的空间想象能力以及灵活运用知识解决数学问题的能力当构成三棱锥的两条对角线长为 a，其他各边长为 2，a 有最小值，易得 a 的取值范围，由此能求出此三棱

8、锥体积的取值范围 【详解】构成三棱锥的两条对角线长为 a，其他各边长为 2，如图所示，AD=BC=此时 0a2 取 BC 中点为 E,连接 AE,DE,易得：BC平面 ADE, ，当且仅当 4即时，等号成立， 此三棱锥体积的取值范围是 故选： 【点睛】本题考查的知识点是空间想像能力，我们要结合数形结合思想，极限思想，求出 a 的最大值和最 小值，进而得到形成的三棱锥体积最大值 第第卷卷 本卷包括必考题和选考题两部分，第（本卷包括必考题和选考题两部分，第（1313）题第（）题第（2121）题为必考题，每个试题考生都必须）题为必考题，每个试题考生都必须 做答，第（做答，第（2222）题第（）题第（2323）题为选考题，考生根据要求做答）题为选考题，考生根据要求做答. . 二、填空题（每题二、填空题（每题 5 5 分，满分分，满分 2020 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上） 13.的展开式中，的系数等于_ 【答案】-120 【解析】 【分析】 利用通项公式即可得出 【详解】 （1x）10的展开式中，Tr+1（x）r， 令 r3，则 T4x3， 则 x3的系数120 故答案为：

9、120 【点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略 (1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第r1 项，再由特定项的特点求出r值即可. (2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r1 项，由特定项得出 r值，最后求出其参数. 14.已知向量，且 在 方向上的投影为-3，则向量 与 的夹角为_ 【答案】 【解析】 ， ，解得 ， ， ，所以 与 的夹角为 . 15.赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元 222 年，赵爽为周髀算经一书作序时，介绍了“勾 股圆方图” ，亦称“赵爽炫图” （以弦为边长得到的正方形组成）.类比“赵爽弦图” ，可类似地构造如下图 所示的图形，它是由 3 个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设， 若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是_ 【答案】 【解析】 【分析】 根据几何概型的概率公式，设 DF2AF2a，求出DEF 和ABC 的面积，计算所求的概率值 【详解】由题意，设 DF2AF2a，且 a0， 由DFE，AFC； DEF 的面积为 SDEF2a2asina2， AFC 的面积为 SAFCa3asina2， 在大等边三角形中随机取一点，此点取自小等边三角形的概率是 P 故答案为： 【点睛】题主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度 型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型 问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概 型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误 ；（3）利用几何概型的概率公

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