山东省临沂市罗庄区2017-2018学年高二上学期期末考试数学（理）试题（解析版）

1、2017-20182017-2018 学年山东省临沂市罗庄区高二期末数学试卷（理科）学年山东省临沂市罗庄区高二期末数学试卷（理科） 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 1212 小题，共小题，共 60.060.0 分）分） 1.下列选项叙述错误的是 A. 命题“若，则”的逆否命题是“若，则” B. 若为真命题，则p，q均为真命题 C. 若命题p：，则：， D. “”是“”的充分不必要条件 【答案】B 【解析】 对于 ，命题“若， 的逆否命题是“若，则” ，故 正确；对于 ，若 为真命题，则 ， 至少有一个为真命题，故 错误；对于 ，若命题 ：，则 ：，故 正确；对于 ，或可推出，反之，推 不出，故 正确，故选 B. 2.设a，且，则 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 利用排除法，可取，排除选项，从而可得结果 【详解】因为， 所以可取， 此时， ， ，均不成立， 所以可排除选项，故选 D 【点睛】本题考查了不等式的性质以及排除法的应用，属于基础题. 用特例代替题设所给的一般性条件， 得出特殊结论，然后对各个选项进行检验，从而做出正确的判断，这种方法叫做特殊法.

2、 若结果为定值， 则可采用此法. 特殊法是“小题小做”的重要策略，排除法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和 方法，这种方法即可以提高做题速度和效率，又能提高准确性. 3.以抛物线 y28x 上的任意一点为圆心作圆与直线 x20 相切，这些圆必过一定点，则这一定点的坐标 是( ) A. (0,2) B. (2,0) C. (4,0) D. (0,4) 【答案】B 【解析】 x20 为抛物线的准线根据抛物线的定义，抛物线上的点到准线的距离等于其到焦点的距离，又圆心 在抛物线上，故这些圆恒过定点(2，0) 4.中国古代数学著作 算法统宗 中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚疼减一 半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还 ”其大意为：“有一个人走了 378 里路，第一天 健步行走，从第二天起脚疼每天走的路程为前一天的一半，走了 6 天后到达目的地，请问第二天走了？” 根据此规律，求后 3 天一共走多少里 A. 156 里 B. 84 里 C. 66 里 D. 42 里 【答案】D 【解析】 【分析】 此人每天所走的路程，组成等比数列，其中，利用等比数列的

3、通项公式与求和公式即可得 结果 【详解】此人每天所走的路程组成等比数列，其中， 则，解得 后 3 天一共走了 （里） 故选 D 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式基本量运算，属于中档题等比数列基本量的运算是 等比数列的一类基本题型，数列中的五个基本量，一般可以“知二求三” ，通过列方程组所求问 题可以迎刃而解，解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关性质和公式，并灵活应用，在运算过程 中，还应善于运用整体代换思想简化运算过程. 5.设的内角A、B、C所对边分别为a，b，c，若，且不等式的解集为 ，则 A. B. C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】 利用一元二次不等式的解法先解出不等式，得出 和 的值，再利用正弦定理得出的值，结合大边对大 角定理，可求出 的值 【详解】不等式 即，解此不等式可得， 所以， 由正弦定理可得，所以， ，所以， 可得 是锐角，所以，故选 A 【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法及正弦定理的应用，属于基础题正弦定理是解三角形的 有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角 与锐角）

4、 ；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角 形外接圆半径. 6.已知椭圆的离心率为 ，则k的值为 A. B. 21 C. 或 21 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】 对椭圆的焦点位置分类两种情况讨论，分别利用椭圆的标准方程及其离心率计算公式列方程求解即可 【详解】当椭圆的焦点在 轴上时， ，解得； 当椭圆的焦点在 轴上时， ，解得 或，故选 D 【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及离心率公式的应用，考查了分类讨论思想、推理能力与计算能力， 意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于中档题 7.长方体中，E为的中点，则异面直线与AE所成角的余弦 值为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 建立坐标系如图所示 则 A(1,0,0)，E(0,2,1)，B(1,2,0)，C1(0,2,2)，(1,0,2)，(1，2,1) cos，. 所以异面直线 BC1与 AE 所成角的余弦值为. 8.设不等式组表示的可行域 与区域 关于原点对称，若点，则的最大值为 A. B. C. 1 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】 作出不等式组

5、对应的平面区域，利用对称性求出区域 ，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最 优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论. 【详解】根据条件作出不等式组对应的平面区域如图： 则三角形是对应区域 ， 设则， 平移直线,由图象知当直线经过点时， 直线的截距最小，此时 最大， 最大值为，故选 B 【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义是解决本题的关键本题主要考查线性 规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”： （1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线） ；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内 平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解） ；（3）将最优解坐标代入目标函数求出 最值. 9.的三内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，若，则角B的大小为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 利用正弦定理化为三边关系，再由余弦定理求出的值，从而求出角 的大小 【详解】中， 由正弦定理得， ； ， 即； 由余弦定理得， ； 又， 角 的大小为 故选

6、B 【点睛】本题考查了正弦、余弦定理的灵活应用问题，属于中档题解三角形时，有时可用正弦定理，有 时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑 用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时， 则要考虑两个定理都有可能用到 10.正项等比数列中，若，则的最小值等于 A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 设正项等比数列的公比为，由，解得由，利用等比数列的通项公式 可得再利用“乘 1 法”与基本不等式的性质即可得结果 【详解】设正项等比数列的公比为， ，解得 ，即 则， 当时，等号成立， 所以的最小值等于 ，故选 A 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式、 “乘 1 法”与基本不等式的求最值，属于综合题利用基本不等式 求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正； 二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小） ；三相等是，最后一定要验证等号能否 成立（主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时

7、成立）. 11.在棱长为 2 的正四面体ABCD中，E，F分别是BC，AD的中点，则 A. 0 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据题意画出图形，结合图形，利用向量加法的运算法，分别用与表示出向量与，利用数量 积的运算法则求解即可求 【详解】如图所示， 棱长为 2 的正四面体中， 因为分别是的中点， 所以 ，故选 B 【点睛】本题考查了空间向量的线性运算与数量积的运算法则，是基础题向量数量积的运算主要掌握两 点：一是数量积的基本公式；二是向量的平方等于向量模的平方. 12.已知双曲线C：的右焦点为，圆F：，直线l与双曲线C的一条 渐近线垂直且在x轴上的截距为若圆F被直线l所截得的弦长为，则双曲线的离心率为 A. B. C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】 设直线方程为，利用圆 被直线 所截得的弦长为，可得圆心到直线的距离 ，结合性质，即可求出双曲线的离心率 【详解】双曲线 C：的一条渐近线, 设与该渐近线垂直且在 轴上的截距为的直线方程为， 即， 圆 被直线 所截得的弦长为， 圆心到直线的距离， ， ， ， 故选 C 【点睛】本题考查双曲线的离心率，

8、考查直线与圆的位置关系的运用，属于中档题离心率的求解在圆锥 曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：直接求出，从而求出 ;构造 的齐次式，求出 ;采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 4 小题，共小题，共 20.020.0 分）分） 13.已知命题p：若，则，那么命题p的否命题为_ 【答案】若，则 【解析】 【分析】 直接利用否命题的定义，对原命题的条件与结论都否定即可得结果 【详解】因为命题 ：若，则， 所以否定条件与结论后，可得命题 的否命题为若，则， 故答案为若，则， 【点睛】本题主要考查命题的否命题，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题 14.已知数列中，表示数列的前n项和，若恒成立，则m的取值范围 是_ 【答案】 【解析】 【分析】 由，利用等差数列的求和公式可得，再利用裂项相消求和方法，结合不等式恒成立即可得 结果 【详解】因为， 所以， 恒成立， 则 的取值范围是 故答案为 【点睛】本题考查了等差数列的求和公式、裂项相消法求和、不等式恒成立问题，属于中档题裂项相消 法是最难把握的求和方法之一，其原

9、因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结 构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2） ； （3） ；（4） ；此外，需注意裂项之后相消的 过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误. 15.在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，且的面积为， 则_ 【答案】 【解析】 分析：先利用三角形的面积公式得到，再利用正弦定理将边角公式转化为边边关系，进而利用余弦定 理进行求解 详解：因为的面积为， 所以， 即， 由， 得， 即， 则 点睛：本题考查正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式等知识，意在考查学生的逻辑思维能力和基本计 算能力 16.已知抛物线的焦点F的直线与抛物线相交于A，B两点，点A，B在准线上的投影分 别为，且，则的面积与的面积比值为_ 【答案】9 【解析】 【分析】 画出图形，利用已知条件，根据抛物线的定义可判断是底角为的等腰三角形，腰长为， 为边长为的正三角形，求解的面积与的面积，从而可得结果 【详解】 由抛物线定义可得，所以， 又因为, 所以 ，同理可得, 由正三角形的性质可得， 所以， 则， 所以， 的面积： ， 的面积：， 则的面积与的面积比值为 9， 故答案为 9 【点睛】本题考查抛物线的定义与简单性质的应用，属于难题. 与抛物线焦点、准线有关的问题一般情况 下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意应用：抛物线上任一点到焦点的距离等于这一点到准 线的距离. 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 6 小题，共小题，共 70.070.0 分）分） 17.已知是等差数列，满足，数列满足，且是等比数列. （1）求数列和的通项公式； （2）求数列的前 项和. 【答案】 （1），；（2） 【解析】 试题分析：（1）利用等差数列，等比数列的通项公式先求得公差和公比，即得到结论;（2）利用分组求和 法，由等差数列及等比数列的前 n 项和公式即可求得数列前 n

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