吉林省辽源市田家炳高级中学（第六十六届友好学校）2018-2019学年高二上学期期末联考数学（理）试题（解析版）

1、友好学校第六十六届期末联考友好学校第六十六届期末联考 高二数学（理科）高二数学（理科） 一、一、 选择题选择题 （本大题共（本大题共12小题，每小题小题，每小题5分，共分，共60分）分） 1.已知命题，其中正确的是 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 试题分析：命题的否定是把结论加以否定，条件不变，但条件中的存在量词与全称量词要相应互换如“存在 ”与“任意”要互换 考点：命题的否定 2.高二某班共有学生60名，座位号分别为01, 02, 03，, 60.现根据座位号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本.已知03号、18号、48号同学在样本中，则 样本中还有一个同学的座位号是（ ） A. 31号 B. 32号 C. 33号 D. 34号 【答案】C 【解析】 【分析】 根据系统抽样知，组距为，即可根据第一组所求编号，求出各组所抽编号. 【详解】学生60名，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本,所以组距为， 已知03号，18号被抽取，所以应该抽取号， 故选C. 【点睛】本题主要考查了抽样，系统抽样，属于中档题. 3.已知椭圆的长轴长是短轴长的 倍，则椭圆的离心率

2、等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由题意，椭圆的长轴长是短轴长的 倍，即，再根据椭圆的离心率的计算公式，即可求解. 【详解】由题意，椭圆的长轴长是短轴长的 倍，即， 则椭圆的离心率为，故选B. 【点睛】本题主要考查了椭圆的几何性质的应用，其中解答中熟记椭圆的几何性质，合理应用的关系 是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 4.北宋欧阳修在卖油翁中写道：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其扣，徐以杓酌油沥之，自钱孔入 ，而钱不湿.因曰：我亦无他，唯手熟尔.”可见技能都能通过反复苦练而达至熟能生巧之境地.若铜钱是半 径为1.5cm的圆，中间有边长为0.5cm的正方形孔，你随机向铜钱上滴一滴油，则油（油滴的大小忽略不计 ）正好落入孔中的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据几何概型可知，油（油滴的大小忽略不计）正好落入孔中的概率等于正方形空的面积与铜钱的面积之 比，即可求出. 【详解】铜钱的面积，正方形孔的面积， 根据几何概型知，. 【点睛】本题主要考查了概率，几何概型，属于中档题. 5.按照程序框图(如图)执

3、行，第4个输出的数是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】 根据程序框图，模拟运算即可求出. 【详解】第一次执行程序，输出1，第二次执行程序，输出，第三次执行程序，出 ，第四次执行程序，输出 ，故选D. 【点睛】本题主要考查了程序框图，循环结构，属于中档题. 6.甲、乙两人随意入住两间空房,则甲乙两人各住一间房的概率是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】 甲乙两人安排入住两间空房，共有种安排方法，其中甲乙各住一间有2种安排方法，根据古典概型即 可求其概率. 【详解】甲乙两人安排入住两间空房，共有种安排方法，其中甲乙各住一间有2种安排方法， 所以甲乙两人各住一间房的概率. 故选A. 【点睛】本题主要考查了古典概型，属于中档题. 7.如果表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据椭圆的标准方程可知，表示焦点在y轴上的椭圆则需，求解即可. 【详解】如果表示焦点在y轴上的椭圆, 则需，解得， 故选B. 【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程，判断椭圆

4、的焦点位置，属于中档题. 8.已知命题p:对任意，总有；q: “”是“”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 先判断命题p,q的真假，再根据命题的否定，判断，的真假，结合且、或命题的真值表即可求解. 【详解】因为p:对任意，总有,是真命题；q: “”是“”的充分不必要条件是假命题， 所以是假命题，是真命题， 因此是真命题，故选A. 【点睛】本题主要考查了命题，命题真假的判断，含逻辑联结词命题的真假判断，否命题，属于中档题. 9.与椭圆共焦点且过点的双曲线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由椭圆方程可求出双曲线焦点且，再根据双曲线中 ，即可排除错误选项. 【详解】由椭圆知 所以双曲线中，可根据排除法知选D. 【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程，双曲线的标准方程，属于中档题. 10.过双曲线C：的一个焦点作圆的两条切线，切点分别为A，B.若 (O是坐标原点)，则双曲线C的离心率为 ( ) A. B. C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】 根据双曲线的对称性可知,在直角三角形

5、中，利用三角函数即可求出 ，进而得到双 曲线的离心率. 【详解】如图： 由题意知，根据双曲线及圆的对称性可知， 在直角三角形中， 所以，即， 故选C. 【点睛】本题主要考查了双曲线的简单几何性质，数形结合的思想，属于中档题. 11.在正方体中， 为的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 连接,由，得为异面直线与所成角，在三角形中求解即可. 【详解】如图：连接, 为异面直线与所成角, 设,则在 中 ， 故选A. 【点睛】本题主要考查了空间中异面直线所成角的余弦值，考查了余弦定理的应用，属于中档题. 12.已知椭圆的左焦点是，右焦点是，点P 在椭圆上，如果线段的中点在 轴上，那么 ( ) A. 3 : 5 B. 3 : 4 C. 4 : 3 D. 5 : 3 【答案】A 【解析】 【分析】 求出椭圆的焦点坐标，再根据点P在椭圆上，线段的中点在 轴上,求得P点坐标，进而计算， 从而求解. 【详解】由椭圆方程可得：, 设P点坐标为，线段的中点为， 因为线段的中点在 轴上，所以，即，代入椭圆方程得或， 不妨取,则， 所以 ，故选A. 【

6、点睛】本题主要考查了椭圆的几何性质，距离公式，中点公式，属于中档题. 二、二、 填空题（本大题共填空题（本大题共4小题，每小题小题，每小题5分分 ，共，共20分）分） 13.某公司的广告费支出 与销售额 （单位：万元）之间有下列对应数据：由资料显示 对 呈线性相关关系 。 x24568 y3040605070 根据上表提供的数据得到回归方程中的，预测广告费支出10万元时，销售额约为 _万元.（参考公式：） 【答案】85 【解析】 【分析】 求出样本数据中心点，代入，即可求出线性回归直线方程，当时，代入方程求 即可. 【详解】由所给表格可知， 所以 , 即线性回归直线方程为， 当时， ，即销售额大约为85万元， 故填85. 【点睛】本题主要考查了线性回归直线方程的求法，及应用线性回归直线方程进行估计，属于中档题. 14.以直线与 轴的交点为焦点的抛物线标准方程为_. 【答案】 【解析】 【分析】 求出直线与 轴的交点，根据抛物线的焦点为，可写出抛物线方程. 【详解】由题意，知抛物线的焦点为，所以， 又焦点在y轴的负半轴上， 所以抛物线方程为， 故填. 【点睛】本题主要考查了抛物线的方程，

7、抛物线的简单几何性质，属于中档题. 15.过点P（2 , 1）的直线与双曲线交于A,B两点，则以点P为中点的弦AB所在直线斜率为_. 【答案】4 【解析】 【分析】 因为直线过点P（2 , 1），且P为弦AB的中点，可根据点差法求弦所在直线的斜率. 【详解】设 则 两式相减得：，即 经检验，当时，直线与双曲线相交， 所以填4. 【点睛】本题主要考查了直线与双曲线的位置关系，点差法，属于中档题. 16.如图，在正方体中， 、 分别为 的中点，则平面和平面所成二面角的正弦值为_. 【答案】 【解析】 【分析】 以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴， 建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面EFC1B和平面BCC1所成二面角的正弦值. 【详解】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴， 建立空间直角坐标系， 设正方体中棱长为2， 则E(1,0,0)，F(0,0,1)， B(2,2,0)，C1(0,2,2)， , 设平面EFC1B的法向量， 则，取，得 平面BCC1的法向量， 设平面EFC1B和平面BCC1所成二面角为 ， 则，所以， 故填. 【点睛】本题主要考查了二面角的

8、正弦值的求法，向量法，考查推理论证能力，运算求解能力，属于中档题 . 三、三、 解答题（本大题共解答题（本大题共6小题，共小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。） 17.甲乙两位学生参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，记 录如下： 甲：82 , 81 , 79 , 78 , 95 , 88 , 93 , 84 乙：92 , 95 , 80 , 75 , 83 , 80 , 90 , 85 （1）完成茎叶图； （2）现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度（在平均数、方差或标准差中选两个）考虑，你认 为选派哪位学生参加竞赛合适？说明理由. 【答案】（1）见解析；（2）甲. 【解析】 试题分析： （1）根据所给的两组数据，用十位做茎，个位做叶，写出茎叶图，根据乙组数据有8个数字，这组数据的 中位数是最中间两个数的平均数，乙组数据的中位数为85 （2）根据所给的两组数据，分别求出两组数据的平均数，再求出两组数据的方差，比较所得的两组结果 ，甲和乙的平均数相同，甲的方差较小，成绩比较稳定

9、 试题解析： （1）作出茎叶图如下： （2）由题意可得： （7879818284889395）85， （7580808385909295）85. 所以（7885）2（7985）2（8185）2（8285）2（8485）2（8885）2（9 385）2（9585）235.5， （7585）2（8085）2（8085）2（8385）2（8585）2（9085）2（928 5）2（9585）241. ，甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适 考点：茎叶图及方差、标准差. 18.如图，从参加环保知识竞赛的学生中抽出名，将其成绩（均为整数）整理后画出的频率分布直方图如 下：观察图形，回答下列问题： （1）这一组的频数、频率分别是多少？ （2）估计这次环保知识竞赛成绩的平均数、众数、中位数。（不要求写过程） (3) 从成绩是80分以上（包括80分）的学生中选两人，求他们在同一分数段的概率 【答案】（1）4;（2）685、75、70;（3） 【解析】 试题分析：（1）根据频率分步直方图的意义，计算可得4050、5060、6070、7080、90100这5 组的频率，由频率的性质可得8090这一组的频率，进而由频率、频数的关系，计算可得答案；（2）根 据频率分步直方图中计算平均数、众数、中位数的方法，计算可得答案；（3）记“取出的2人在同一分数段 ”为事件E，计算可得8090之间与90100之间的人数，并设为a、b、c、d，和A、B，列举可得从中取出2 人的情况，可得其情况数目与取出的2人在同一分数段的情况数目，由等可能事件的概率公式，计算可得 答案 解：（1）根据题意，4050的这一组的频率为00110=01，5060的这一组的频率为001510=01 5，6070的这一组的频

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