甘肃省兰州市2018届高三第二次实战考试理科数学（解析版）

1、兰州市兰州市 20182018 年高三实战考试年高三实战考试 理科数学理科数学 第第卷（共卷（共 6060 分）分） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1212 个小题个小题, ,每小题每小题 5 5 分分, ,共共 6060 分分. .在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的. . 1.已知集合，则 A. 或 B. 或 C. D. 【答案】A 【解析】 由得：，则或，故选 A. 2.已知在复平面内，复数 对应的点是 ，则复数 的共轭复数（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 复数 对应的点是 复数 的共轭复数 故选 D. 3.等比数列中各项均为正数，是其前 项和，满足，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 设等比数列的公比为. ，即. 或（舍去） 故选 D. 4.在如图所示的正方形中随机投掷 10000 个点，若曲线 的方程为，则落入阴影部分 的点的个数的估计为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 由题意，阴影部分的面积为，正方形的面积为 1. 正方形中随机投掷 1

2、0000 个点， 落入阴影部分的点的个数的估计值为 故选 B. 点睛：（1）当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解； （2）利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出 变量，在坐标系中表示所需要的区域； （3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的， 但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率 5.已知非零单位向量满足，则 与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 设 与的夹角为 . ，即. ，则. 为非零单位向量 ，即. 故选 D. 6.已知点为双曲线的左右顶点，点在双曲线上，为等腰三角形， 且顶角为 ，则该双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 由点在双曲线上，为等腰三角形，且顶角为 ，得，过点作 轴，垂足为 ，则，如图所示： 在中，则，即，代 入双曲线方程得，即. 点为双曲线的左右顶点 双曲线的方程为 故选 B. 7.在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为 ，准线为为抛物线上一点，为垂足，

3、若直线 的斜率，则线段的长为 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 抛物线的方程为 焦点，准线 的方程为. 直线的斜率 直线的方程为，当时，即. 为垂足 点的纵坐标为，代入到抛物线方程得， 点的坐标为. 故选 C. 8.秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的九章算术中提出多项式求值的秦九韶算法，如图所示 的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，依次输入 的的值为，则输出的 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 初始值，程序运行过程如下： ，不满足，执行循环； ，不满足，执行循环； ，满足，退出循环；输出 故选 C 9.如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 由三视图可知几何体为直三棱柱，直观图如图所示： 其中，底面为直角三角形，高为. 该几何体的体积为 故选 A. 10.设nN N*，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 . 故选 A. 11.已知函数，如果时，函数的图象恒在直线的下方，则 的取值范围是 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 令，则

4、，即. 当时， 在上单调递增，则当时， ，满足题设； 当时， 在上不单调，因此存在实数不满足题设，所以 D 不正确. 故选 B. 点睛：本题的解答过程是巧妙构造函数，先运用求导法则求出函数的导数，再运用分类整合思想分析推断 不等式成立的条件，进而求得实数的取值范围，使得问题获解. 12.已知是定义在 上的可导函数，若在 上有恒成立，且为自然对数的底数） ，则下 列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 设，则. 在 上有恒成立 在 上恒成立，即在 上为减函数. ，故 A，B 不正确. 故选 C. 点睛：利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅 助函数常根据导数法则进行：如构造， 构造， 构造 ， 构造等 第第卷（共卷（共 9090 分）分） 二、填空题（每题二、填空题（每题 5 5 分，满分分，满分 2020 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上） 13.已知变量具有线性相关关系，它们之间的一组数据如下表所示， 若 关于 的回归方程为，则 _ 【答案】 【解析】 由题意得，代入到线性回归方程，得. 故答

5、案为. 14.若变量满足约束条件 ，则目标函数的最大值是_ 【答案】 【解析】 作出不等式组对应的平面区域如图所示： 由得，平移直线，由图象可知当直线经过点 时，直线的截距最 大，此时 最大. 由得，即，代入目标函数得，即的最大值是. 故答案为. 点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是 “一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线） ；（2）找到目标函数对应的最优解对 应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解） ；（3）将最优解坐标 代入目标函数求出最值. 15.的展开式中，常数项的值为_ （用数字作答） 【答案】 【解析】 , ,常数项为. 16.已知数列满足，若，则数列的通项 _ 【答案】 【解析】 ，即 数列是以 为首项，公比为 的等比数列 故答案为. 点睛：数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各 项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项 公式；将已知递推关系式整理、变形，变成等

6、差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项 三、解答题三、解答题 （本大题共（本大题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分分. .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. .） （一）必做题（一）必做题 17.已知向量，函数. （1）求函数的图象对称轴的方程； （2）求函数在上的最大值和最小值. 【答案】(1)；(2). 【解析】 试题分析：（1）根据三角恒等变换可得，再令，即可得函数的图象 对称轴的方程；（2）根据，可得，再结合三角函数图象即可得函数在上的最大 值和最小值. 试题解析：（1）由已知 ，对称轴的方程为，即. （2） ， . 18.如图，是边长为 的菱形，平面，平面，. （）求证：； （）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】 （）见解析;（）. 【解析】 试题分析：（I）连接，根据菱形的性质可知，结合，可得平面，垂直同一 个平面的两条直线平行，故四点共面，故.（2）以 为坐标原点，分别以，的方向为 轴， 轴的正方向，建立空间直角坐标系.计算直线的方向向量和平面的法向量，利用线面角 公式求得线面角的正弦值. 试题解析： （）证

7、明：连接， 因为是菱形，所以. 因为平面，平面， 所以. 因为，所以平面. 因为平面，平面，所以. 所以 ， ， ， 四点共面. 因为平面，所以. （）如图，以 为坐标原点，分别以，的方向为 轴， 轴的正方向，建立空间直角坐标系. 可以求得，. 所以，. 设平面的法向量为， 则即 不妨取，则平面的一个法向量为. 因为， 所以 . 所以直线与平面所成角的正弦值为. 19.某智能共享单车备有两种车型，采用分段计费的方式营用 型单车每分钟收费元（不足分钟 的部分按分钟计算） ， 型单车每分钟收费 元（不足分钟的部分按分钟计算） ，现有甲乙丙三人， 分别相互独立第到租车点租车骑行（各租一车一次） ，设甲乙丙不超过分钟还车的概率分别为，并且 三个人每人租车都不会超过分钟，甲乙均租用 型单车，丙租用 型单车. （1）求甲乙两人所付的费用之和等于丙所付的费用的概率； （2）设甲乙丙三人所付费用之和为随机变量 ，求 的分布列和数学期望. 【答案】(1)；(2)答案见解析. 【解析】 【分析】 （1）利用相互独立事件的概率公式，分两种情况计算概率；（2）随机变量 所有可能取值有 ，根据相互独立事件的概率

8、公式求出各种情况对应的概率，即可得出分布列，再计算数学期望 【详解】 （1）由题意，甲乙丙在分钟以上且不超过分钟还车的概率分别为， 设“甲乙两人所付费用之和等于丙所付费用”为事件 , 则； （2）随机变量 所有可能取值有， 则， ， 所以甲乙丙三人所付费用之和的分别为 所以 . 【点睛】数学期望是离散型随机变量中重要的数学概念，反映随机变量取值的平均水平.求解离散 型随机变量的分布列、数学期望时，首先要分清事件的构成与性质，确定离散型随机变量的所有 取值，然后根据概率类型选择公式，计算每个变量取每个值的概率，列出对应的分布列，最后求 出数学期望. 20.已知为椭圆的左、右焦点，点在椭圆 上，且 （）求椭圆 的方程； （）过的直线分别交椭圆 于和且，若， ，成等差数列，求出 的值. 【答案】(1)；(2)答案见解析. 【解析】 试题分析：（1）利用椭圆的定义即可得出 ，将代入椭圆方程可得，即可得出；（2）对 分类讨论， 把直线方程代入椭圆方程得到关于 的一元二次方程，利用根与系数的关系、斜率计算公式、弦长公式即 可得出结论. 试题解析：(1)，椭圆 ：. 将代入可得，椭圆 的方程为. (

9、2)当的斜率为零或斜率不存在时，； 当的斜率 存在且时，的方程为， 代入椭圆方程，并化简得. 设，则，. . 直线的斜率为，. . 综上，. 故存在常数，使得， ，成等差数列 21.已知函数，曲线在点处的切线与直线垂直（其中 为自然对数的底数） （1）求的解析式及单调递减区间； （2）若存在，使函数成立，求实数 的取值范围. 【答案】(1)答案见解析；(2). 【解析】 试题分析：（I）首先求得函数定义域与，然后利用导数的几何意义求得 的值，从而根据求得 函数的单调递减区间；（II）首先将问题转化为，然后求得，并求得其单调区间，从而求得 其最小值，进而求得 的范围 （I）由及得函数的定义域为 由题意 解得 故， 此时， 由得 所以函数的单调递减区间是 （II）因为， 由已知，若存在使函数成立， 则只需满足当时，即可 又， 则， 若，则在上恒成立， 所以在上单调递增， ， ，又， 若，则在上单调递减，在上单调递增， 所以 在 上的最小值为， 又 综上所述， 的取值范围 22.已知直线 的极坐标方程是，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为 轴的正半轴，建立平 面直角坐标系，曲线 的参数方程是为参数）. （1）求直线 被曲线 截得的弦长； （2）从极点作曲线 的弦，求各位中点轨迹的极坐标方程. 【答案】(1)；(2). 【解析】 【试题分析】 （1）先借助参数方程、极坐标方程与直角坐标之间的关系互化，再运用弦心距、半径、半弦 长之间的关系分析求解；（2）依据题设条件建立极坐标系，运用解直角三角形的知识进行求解： （）直线的直角坐标方程是，曲线 的普通方程是， 易得圆心到直线 的距离，所以所求的弦长为 （）从极点作曲线 的弦，各弦中点的轨迹的极坐标方

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