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北京市海淀区2017届高三期中考试(一模)数学理试题有答案

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常见问题

1、海淀区高三年级第二学期期中练习数学（理科）第卷（共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，集合，则（）ABCD 2.已知复数（，），则“为纯虚数”的充分必要条件为（）ABC，D， 3.执行如图所示的程序框图，输出的值为（）A0B3C6D8 4.设，若，则（）ABCD 5.已知，则，的大小关系是（）ABCD 6.已知曲线：（为参数），若曲线上存在点满足，则实数的取值范围为（）ABCD 7.甲、乙、丙、丁、戊五人排成一排，甲和乙都排在丙的同一侧，排法种数为（）A12B40C60D80 8.某折叠餐桌的使用步骤如图所示，有如图检查项目：项目：折叠状态下（如图1），检查四条桌腿长相等；项目：打开过程中（如图2），检查；项目：打开过程中（如图2），检查；项目：打开后（如图3），检查；项目：打开后（如图3），检查在检查项目的组合中，可以正确判断“桌子打开之后桌面与地面平行的是”（）ABCD 第卷（共110分）二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9.若等比数列满足，则公比，前项和

2、 10.已知，满足的动点的轨迹方程为 11.在中，；若，则 12.若非零向量，满足，则向量，夹角的大小为 13.已知函数若关于的方程在内有唯一实根，则实数的最小值是 14.已知实数，满足，则的最大值是三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.已知是函数的一个零点（）求实数的值；（）求的单调递增区间.16.据报道，巴基斯坦由中方投资运营的瓜达尔港目前已通航.这是一个可以停靠810万吨油轮的深水港，通过这一港口，中国船只能够更快到达中东和波斯湾地区，这相当于给中国平添了一条大动脉！在打造中巴经济走廊协议（简称协议）中，能源投资约340亿美元，公路投资约59亿美元，铁路投资约38亿美元，高架铁路投资约16亿美元，瓜达尔港投资约6.6亿美元，光纤通讯投资约为0.4亿美元有消息称，瓜达尔港的月货物吞吐量将是目前天津、上海两港口月货物吞吐量之和表格记录了2015年天津、上海两港口的月吞吐量（单位：百万吨）：1月2月3月4月5月6月7月8月9月10月11月12月天津242226232426272528242526上海3227333130313233

3、30323030（）根据协议提供信息，用数据说明本次协议投资重点；（）从表中12个月任选一个月，求该月天津、上海两港口月吞吐量之和超过55百万吨的概率；（）将（）中的计算结果视为瓜达尔港每个月货物吞吐量超过55百万吨的概率，设为瓜达尔未来12个月的月货物吞吐量超过55百万吨的个数，写出的数学期望（不需要计算过程）17.如图，由直三棱柱和四棱锥构成的几何体中，平面平面（）求证：；（）若为的中点，求证：平面；（）在线段上是否存在点，使直线与平面所成的角为？若存在，求的值，若不存在，说明理由18.已知函数，其中实数（）判断是否为函数的极值点，并说明理由；（）若在区间上恒成立，求的取值范围19.已知椭圆：，与轴不重合的直线经过左焦点，且与椭圆相交于，两点，弦的中点为，直线与椭圆相交于，两点（）若直线的斜率为1，求直线的斜率；（）是否存在直线，使得成立？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由20.已知含有个元素的正整数集（，）具有性质：对任意不大于（其中）的正整数，存在数集的一个子集，使得该子集所有元素的和等于（）写出，的值；（）证明：“，成等差数列”的充要条件是“”；（）若，求当取最小值

4、时的最大值海淀区高三年级第二学期期中练习数学（理科）答案一、选择题1-5: 6-8: 二、填空题9.2， 10. 11.90， 12.120 13. 14.三、解答题15.解：（）由题意可知，即，即，解得（）由（）可得，函数的递增区间为，由，得，所以，的单调递增区间为，16.解：（）本次协议的投资重点为能源，因为能源投资为340亿，占总投资460亿的以上，所占比重大（）设事件：从12个月中任选一个月，该月超过55百万吨根据提供的数据信息，可以得到天津、上海两港口的月吞吐量之和分别是：56,49,58,54,54,57,59,58,58,56,54,56，其中超过55百万吨的月份有8个，所以，（）的数学期望17.（）证明：在直三棱柱中，平面，故，由平面平面，且平面平面，所以平面，又平面，所以（）证明：在直三棱柱中，平面，所以，又，所以，如图建立空间直角坐标系，依据已知条件可得，所以，设平面的法向量为，由即令，则，于是，因为为中点，所以，所以，由，可得，所以与平面所成角为0，即平面（）解：由（）可知平面的法向量为设，则，若直线与平面成角为，则，解得，故不存在这样的点18.解：（）由可得函数

5、定义域为，令，经验证，因为，所以的判别式，由二次函数性质可得，1是函数的异号零点，所以是的异号零点，所以是函数的极值点（）已知，因为，又因为，所以，所以当时，在区间上，所以函数单调递减，所以有恒成立；当时，在区间上，所以函数单调递增，所以，所以不等式不能恒成立；所以时，有在区间恒成立19.解：（）由已知可知，又直线的斜率为1，所以直线的方程为，设，由解得所以中点，于是直线的斜率为（）假设存在直线，使得成立当直线的斜率不存在时，的中点，所以，矛盾；故可设直线的方程为，联立椭圆的方程，得，设，则，于是，点的坐标为，.直线的方程为，联立椭圆的方程，得，设，则，由题知，即，化简，得，故，所以直线的方程为，.20.解：（），.（）先证必要性：因为，又，成等差数列，故，所以；再证充分性：因为，为正整数数列，故有，所以，又，故（，），故，为等差数列（）先证明（，）假设存在，且为最小的正整数依题意，则，又因为，故当时，不能等于集合的任何一个子集所有元素的和故假设不成立，即（，）成立因此，即，所以因为，则，若时，则当时，集合中不可能存在若干不同元素的和为，故，即.此时可构造集合.因为当时，可以等于集合中若干个元素的和；故当时，可以等于集合中若干不同元素的和；故当时，可以等于集合中若干不同元素的和；故当时，可以等于集合中若干不同元素的和；故当时，可以等于集合中若干不同元素的和，所以集合满足题设，所以当取最小值11时，的最大值为10

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