初中数学竞赛:双曲线(附练习题及答案)
9页1、初中数学竞赛:双曲线 形如()的函数叫做反比例函数,它的图象是由两条曲线组成的双曲线,与双曲线相关的知识有:1 双曲线解析式中的系数决定图象的大致位置及随变化的状况 2双曲线图象上的点是关于原点O成中心对称,在0时函数的图象关于直线轴对称;在0时函数的图象关于直线轴对称 3自变量的取值是不等于零的全体实数,双曲线向坐标轴无限延伸但不能接近坐标轴【例题求解】【例1】 已知反比例函数的图象与直线和过同一点,则当时,这个反比例函数的函数值随的增大而 (填增大或减小)思路点拨 确定的值,只需求出双曲线上一点的坐标即可注:(1)解与反比函数相关问题时,充分考虑它的对称性(关于原点O中心称,关于轴对称),这样既能从整上思考问题,又能提高思维的周密性(2)一个常用命题: 如图,设点A是反比例函数()的图象上一点,过A作AB轴于B,过A作AC轴于C,则 SAOB=; S矩形OBAC=【例2】 如图,正比例函数 ()与反比例函数的图象相交于A、C两点,过A作AB轴于B,连结BC,若SABC的面积为S,则( ) AS=1 BS =2 CS= DS= 思路点拨 运用双曲线的对称性,导出SAOB与SOBC的关
2、系【例3】 如图,已知一次函数和反比例函数()的图象在第一象限内有两个不同的公共点A、B(1)求实数的取值范围;(2)若AOB面积S24,求的值思路点拨 (1)两图象有两个不同的公共点,即联立方程组有两组不同实数解;(2)SAOB= SCOB S- SCOA,建立的方程【例4】 如图,直线分别交、轴于点A、C,P是该直线上在第一象限内的一点,PB轴于B,SABP=9(1)求点P的坐标;(2)设点R与点P在同一个反比例函数的图象上,且点R在直线PB的右侧,作PT轴于F,当BRT与AOC相似时,求点R的坐标思路点拨 (1)从已知的面积等式出发,列方程求P点坐标;(2)以三角形相似为条件,结合线段长与坐标的关系求R坐标,但要注意分类讨论【例5】 如图,正方形OABC的面积为9,点O为坐标原点,点A在轴上,点C在轴上, 点B在函数 (,)的图象上,点P(,)是函数 (,)的图象上的任意一点,过点P分别作轴、轴的垂线,垂足分别为E、F,并设矩形OEPF和正方形OABC不重合部分的面积为S (1)求B点坐标和的值; (2)当时,求点P的坐标; (3)写出S关于m的函数关系式 思路点拨 把矩形面积用
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