初中数学竞赛:方程与函数(附练习题及答案)
7页1、初中数学竞赛:方程与函数 方程思想是指在解决问题时,通过等量关系将已知与未知联系起来,建立方程或方程组,然后运用方程的知识使问题得以解决的方法;函数描述了自然界中量与量之间的依存关系,函数思想的实质是剔除问题的非本质特征,用联系和变化的观点研究问题转化为函数关系去解决 方程与函数联系密切,我们可以用方程思想解决函数问题,也可以用函数思想讨论方程问题,在确定函数解析式中的待定系数、函数图象与坐标轴的交点、函数图象的交点等问题时,常将问题转化为解方程或方程组;而在讨论方程、方程组的解的个数、解的分布情况等问题时,借助函数图象能获得直观简捷的解答【例题求解】【例1】 若关于的方程有解,则实数m的取值范围 思路点拨 可以利用绝对值知识讨论,也可以用函数思想探讨:作函数,函数图象,原方程有解,即两函数图象有交点,依此确定m的取值范围【例2】设关于的方程有两个不相等的实数根, ,且1,那么取值范围是( ) A B C D 思路点拨 因根的表达式复杂,故把原问题转化为二次函数问题来解决,即求对应的二次函数与轴的交点满足1的的值,注意判别式的隐含制约 【例3】 已知抛物线 ()与轴交于两点A(,0),
2、B(,0)( ) (1)求的取值范围,并证明A、B两点都在原点O的左侧; (2)若抛物线与轴交于点C,且OA+OBOC一2,求的值 思路点拨 、是方程的两个不等实根,于是二次函数问题就可以转化为二次方程问题加以解决,利用判别式,根与系数的关系是解题的切入点【例4】 抛物线与轴的正半轴交于点C,与轴交于A、B两点,并且点B在A的右边,ABC的面积是OAC面积的3倍 (1)求这条抛物线的解析式; (2)判断OBC与OCA是否相似,并说明理由 思路点拨 综合运用判别式、根与系数关系等知识,可判定对应方程根的符号特征、两实根的关系,这是解本例的关键对于(1),建立关于m的等式,求出m的值;对于(2)依m的值分类讨论【例5】 已知抛物线上有一点M(,)位于轴下方 (1)求证:此抛物线与轴交于两点; (2)设此抛物线与轴的交点为A(,0),B(,0),且 ,求证: 思路点拨 对于(1),即要证;对于(2),即要证 注:(1)抛物线与轴交点问题常转化为二次方程根的个数、根的符号特征、根的关系来探讨,需综合运用判别式、韦达定理等知识 (2)对较复杂的二次方程实根分布问题,常转化为用函数的观点来讨论,基
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