初中数学竞赛:锐角三角函数(附练习题及答案)
6页1、初中数学竞赛:锐角三角函数 古希腊数学家和古代中国数学家为了测量的需要,他们发现并经常利用下列几何结论:在两个大小不同的直角三角形中,只要有一个锐角相等,那么这两个三角形的对应边的比值一定相等正是古人对天文观察和测量的需要才引起人们对三角函数的研究,1748年经过瑞士的著名数学家欧拉的应用,才逐渐形成现在的sin、cos、tg、ctg的通用形式 三角函数揭示了直角三角形中边与锐角之间的关系,是数形结合的桥梁之一,有以下丰富的性质: 1单调性; 2互余三角函数间的关系; 3同角三角函数间的关系 平方关系:sin2+cos2=1; 商数关系:tg=,ctg=; 倒数关系:tgctg=1 【例题求解】【例1】 已知在ABC中,A、B是锐角,且sinA,tanB=2,AB=29cm,则SABC = 思路点拨 过C作CDAB于D,这样由三角函数定义得到线段的比,sinA=,tanB=,设CD=5m,AC13m,CD2n,BDn,解题的关键是求出m、n的值注:设ABC中,a、b、c为A、B、C的对边,R为ABC外接圆的半径,不难证明:与锐角三角函数相关的几个重要结论: (1) SABC=; (2)
2、【例2】 如图,在ABC中ACB90,ABC15,BC=1,则AC=( ) A B C0.3 D思路点拨 由15构造特殊角,用特殊角的三角函数促使边角转化注:(1)求(已知)非特角三角函数值的关是构造出含特殊角直角三角形 (2)求(已知)锐角角函数值常根据定转化为求对应线段比,有时需通过等的比来转换【例3】 如图,已知ABC是等腰直角三角形,ACB90,过BC的中点D作DEAB于E,连结CE,求sinACE的值思路点拨 作垂线把ACE变成直角三角形的一个锐角,将问题转化成求线段的比【例4】 如图,在ABC中,AD是BC边上的高,tanB=cosDAC, (1)求证:ACBD; (2)若sinC=,BC=12,求AD的长思路点拨 (1)把三角函数转化为线段的比,利用比例线段证明;(2) sinC=,引入参数可设AD=12,AC13【例5】 已知:在RtABC中,C=90,sinA、sinB是方程的两个根 (1)求实数、应满足的条件; (2)若、满足(1)的条件,方程的两个根是否等于RtABC中两锐角A、B的正弦?思路点拨 由韦达定理、三角函数关系建立、等式,注意判别式、三角函数值的有界性
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