(全国通用版)2019版高考数学一轮复习 第七章 立体几何初步 课时分层作业 四十 7.2 空间几何体的表面积与体积 文
10页1、课时分层作业 四十 空间几何体的表面积与体积一、选择题(每小题5分,共35分)1.某几何体的三视图如图所示(图中网格的边长为1个单位),其中俯视图为扇形,则该几何体的体积为()A.B.C.D.【解析】选B.由三视图知几何体是圆锥的一部分,由俯视图可得:底面扇形的圆心角为120,又由侧视图知几何体的高为3,底面圆的半径为2,所以几何体的体积V=223=.2.已知一个空间几何体的三视图如图所示,其中俯视图是边长为6的正三角形,若这个空间几何体存在唯一的一个内切球(与该几何体各个面都相切),则这个几何体的表面积是()A.18B.36C.45D.54【解析】选D.由三视图知,几何体为正三棱柱.因为俯视图是边长为6的正三角形,所以几何体的内切球的半径R=6=,所以三棱柱的侧棱长为2.所以几何体的表面积S=266+362=54.3.已知某几何体的外接球的半径为,其三视图如图所示,图中均为正方形,则该几何体的体积为()A.16B.C.D.8【解析】选C.由该三视图可知:该几何体是一个正方体,切去四个角所得的正四面体,其外接球等同于该正方体的外接球,设正方体的棱长为a,则有=,a=2,故该正四面体的体
2、积为V=23-423=.【变式备选】已知三棱锥的三视图如图所示,其中侧视图是边长为的正三角形,则该几何体的外接球的体积为()A.B.C.4D.16【解析】选B.由已知中的三视图,可得该几何体的直观图如图所示:取AB的中点F,AF的中点E,由三视图可得:AB垂直平面CDE,且平面CDE是边长为的正三角形,AB=1+3=4,所以AF=BF=2,EF=1,所以CF=DF=2,故F即为棱锥外接球的球心,半径R=2,故外接球的体积V=R3=.4.已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中,底面是边长为2的正方形,高为4,则点A1到截面AB1D1的距离是()A.B.C.D.【解析】选C.设点A1到截面AB1D1的距离是h,由=,可得h=AA1,解得h=.【一题多解】选C.取B1D1的中点E1,连接A1E1,AE1,根据几何体的结构特征,可知,作A1HAE1,垂足为H,A1H平面AB1D1,A1H即为所求.A1E1=,A1A=4,A1AA1E1,A1H=(等面积法).【变式备选】如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PD底面ABCD,M,N分别为AB,PC的中点,PD=AD=2,AB=4.
3、则点A到平面PMN的距离为_.【解析】取PD的中点E,连接AE,NE,则因为四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,M,N分别为AB,PC的中点,所以NEAM,NE=AM,所以四边形AENM是平行四边形,所以AEMN,所以点A到平面PMN的距离等于点E到平面PMN的距离,设为h,在PMN中,PN=,PM=2,MN=,所以SPMN=2=,由VE-PMN=VM-PEN,可得h=122,所以h=.答案:【方法技巧】求点到平面的距离(1)能作出高线的则直接作出高线,转化为求线段的长度;(2)不能直接求时,可转化为与平面平行的直线上一点到平面的距离.或利用等体积法求解.5.已知A,B是球O的球面上两点,AOB=90,C为该球面上的动点,若三棱锥O-ABC体积的最大值为36,则球O的表面积为()A.36B.64C.144D.256【解析】选C.如图所示,当点C位于垂直于面AOB的直径端点时,三棱锥O-ABC的体积最大,设球O的半径为R,此时VO-ABC=VC-AOB=R2R=R3=36,故R=6,则球O的表面积为S=4R2=144.6.某几何体的三视图如图所示,其内切球的体积为 ()A.B.C.
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