（全国通用版）2019版高考数学一轮复习 第七章 立体几何 课时分层作业四十五 7.5 直线、平面垂直的判定及其性质 理

1、课时分层作业 四十五直线、平面垂直的判定及其性质一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2015北京高考)设,是两个不同的平面,m是直线且m,“m”是“”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选B.当m时,可能,也可能与相交.当时,由m可知,m.因此,“m”是“”的必要而不充分条件.2.(2018惠州模拟)PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面,C为圆上异于A,B两点的任一点,则下列关系不正确的是()A.PABCB.BC平面PACC.ACPBD.PCBC【解析】选C.由PA平面ACBPABC,故A不符合题意;由BCPA,BCAC,PAAC=A,可得BC平面PAC,所以BCPC,故B,D不符合题意;无法判断ACPB,故C符合题意.3.(2018石家庄模拟)已知平面,直线l,若,=l,则()A.垂直于平面的平面一定平行于平面B.垂直于直线l的直线一定垂直于平面C.垂直于平面的平面一定平行于直线lD.垂直于直线l的平面一定与平面,都垂直【解析】选D.垂直于平面的平面与平面重合、平行或相交,故A不正确;垂直于直线l的直线若在平面内,则一定垂

2、直于平面,否则不一定,故B不正确;垂直于平面的平面可能垂直于直线l,故C不正确;由面面垂直的判定定理知,垂直于直线l的平面一定与平面,都垂直,故D正确.【变式备选】已知三条不重合的直线m, n,l和两个不重合的平面,则下列命题正确的是()A.若mn,n,则mB.若,=m,nm,则nC.若ln,mn,则lmD.若l,m且lm,则【解析】选D.若mn,n,则m或m,故A不正确;若,=m,nm,则n与相交或n或n,故B不正确;若ln,mn,则l与m相交、平行或异面,故C不正确;若l,m且lm,则由直线与平面垂直的性质定理和平面与平面垂直的判定定理知.4.直三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱长为2,AC=BC=1,ACB=90,D是A1B1的中点,F是BB1上的动点,AB1,DF相交于点E.要使AB1平面C1DF,则线段B1F的长为()A.B.1C.D.2【解析】选A.设B1F=x,因为AB1平面C1DF,DF平面C1DF,所以AB1DF.由已知可得A1B1=,设RtAA1B1斜边AB1上的高为h,则DE=h.又2=h,所以h=,DE=.在RtDB1E中,B1E=.由面积相等得=x,得x=.【

3、变式备选】如图,三棱柱ABC-A1B1C1 中,侧棱AA1底面A1B1C1,AA1=AC=BC=1,ACB=90,D是A1B1的中点,F是BB1上的点,AB1,DF相交于点E,且AB1DF,则下列结论中不正确的是()A.CE与BC1异面且垂直B.AB1C1FC.C1DF是直角三角形D.DF的长为【解析】选D.对于A,因为BC1平面B1C1CB,CE平面B1C1CB,且C平面B1C1CB,所以CE与BC1是异面直线.因为AA1CC1,AA1平面ABC,所以CC1平面ABC,所以CC1AC.又ACBC,BCCC1=C,所以AC平面B1C1CB,又BC1平面B1C1CB,所以ACBC1.又四边形B1C1CB是正方形,连接B1C,所以BC1B1C,又B1CAC=C,所以BC1平面AB1C,因为CE平面AB1C,所以BC1CE,故A正确;对于B,因为C1A1=C1B1,D是A1B1的中点,所以C1DA1B1,由AA1底面A1B1C1可得AA1C1D,又A1B1AA1=A1,所以C1D平面ABB1A1,所以C1DAB1,又DFAB1,C1DDF=D,所以AB1平面C1DF,所以AB1C1F,故B正

4、确;对于C,由C1D平面ABB1A1可得C1DDF,故C1DF是直角三角形,故C正确;对于D,因为AC=BC=AA1=1,ACB=90,所以A1B1=AB=,AB1=,所以DB1=,因为AB1DF,所以FDB1=AB1F=A1AB1,所以cosFDB1=cosA1AB1,即=,所以=,解得DF=,故D错误.5.已知正方体ABCD-A1B1C1D1,点E,F,G分别是线段DC,D1D和D1B上的动点,给出下列结论对于任意给定的点E,存在点F,使得AFA1E;对于任意给定的点F,存在点E,使得AFA1E;对于任意给定的点G,存在点F,使得AFB1G;对于任意给定的点F,存在点G,使得AFB1G.其中正确结论的个数是()A.0B.1C.2D.3【解析】选B.由DE平面A1D,根据三垂线定理,对于任意给定的点E,A1E在平面A1D的射影为A1D,所以存在点F,使得AFA1E,所以正确;如果对于任意给定的点F,存在点E,使得AFA1E,那么,又A1DAD1,可知过A有两条直线与A1D垂直,故错误;只有AF垂直B1G在平面AD1的射影时,AFB1G,故错误;只有AF平面BB1D1D时,才正确,AF

5、与平面BB1D1D不垂直,故错误.【变式备选】对于四面体A-BCD,有以下命题:若AB=AC=AD,则点A在底面BCD内的射影是BCD的外心;若ABCD,ACBD,则点A在底面BCD内的射影是BCD的内心;四面体A-BCD的四个面中最多有四个直角三角形;若四面体A-BCD的6条棱长都为1,则它的内切球的表面积为.其中正确的命题是()A.B.C.D.【解析】选D.由题设AB=AC=AD,故顶点A在底面内的射影是底面外心,故命题是正确的;四面体中的四个面中最多有四个直角三角形,如图1,正方体中的四面体A-BCD中有四个直角三角形,故命题是正确的;对于命题,如图2,尽管ABCD,ACBD,点A在底面BCD内的射影不一定是BCD的内心,即命题是错误的;若四面体的6条棱都为1,则它的体积为V=12=,又设内切球的半径为r,则V=4r=r=,则S=4r2=4=,即命题也是正确的.二、填空题(每小题5分,共15分)6.,是两个平面,AB,CD是两条线段,已知=EF,AB于B,CD于D,若增加一个条件,就能得出BDEF,现有下列条件:AC;AC与,所成的角相等;AC与CD在内的射影在同一条直线上;AC

6、EF.其中能成为增加条件的序号是_.【解析】由题意得,ABCD,所以A,B,C,D四点共面,:因为AC,EF,所以ACEF,又因为AB,EF,所以ABEF,因为ABAC=A,所以EF面ABDC,又因为BD面ABDC,所以BDEF,故正确;:由可知,若BDEF成立,则有EF面ABDC,则有EFAC成立,而AC与,所成角相等是无法得到EFAC的,故错误;:由AC与CD在内的射影在同一条直线上可知EFAC,由可知正确;:仿照的分析过程可知错误.答案:7.若圆锥的侧面积是底面积的3倍,则其母线与底面夹角的余弦值为_.【解析】设圆锥的底面半径为r,母线长为l,由题意rl=3r2,即l=3r,母线与底面夹角为,则cos =.答案:8.如图,PA圆O所在的平面,AB是圆O的直径,C是圆O上的一点,E,F分别是点A在PB,PC上的射影,给出下列结论:AFPB;EFPB;AFBC;AE平面PBC.其中正确结论的序号是_.【解析】由题意知PA平面ABC,所以PABC.又ACBC,且PAAC=A,所以BC平面PAC,所以BCAF.因为AFPC,且BCPC=C,所以AF平面PBC,所以AFPB,又AEPB,A

7、EAF=A,所以PB平面AEF,所以PBEF.故正确.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.如图,四棱锥P-ABCD的底面是正方形,PA底面ABCD,PA=AD=2,点M,N分别在棱PD,PC上,且PC平面AMN.(1)求证:AMPD.(2)求直线CD与平面AMN所成角的正弦值.【解析】(1)因为四边形ABCD是正方形,所以CDAD.又因为PA底面ABCD,所以PACD,故CD平面PAD.又AM平面PAD,则CDAM,而PC平面AMN,有PCAM,则AM平面PCD,故AMPD.(2)延长NM,CD交于点E,因为PC平面AMN,所以NE为CE在平面AMN内的射影,故CEN为CD(即CE)与平面AMN所成的角,又因为CDPD,ENPN,则有CEN=MPN,在RtPMN中,sinMPN=,故CD与平面AMN所成角的正弦值为.10.一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示,在正方体中,设BC的中点为M,GH的中点为N. (1)请将字母F,G,H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由).(2)证明:直线MN平面BDH.(3)求二面角A-EG-M的余弦值.【解析】(1)点F

8、,G,H的位置如图所示.(2)连接BD,HF,设O为BD的中点,连接OH,OM,MN.因为M,N分别是BC,GH的中点,所以OMCD,且OM=CD,NHCD,且NH=CD,所以OMNH,OM=NH,所以四边形MNHO是平行四边形,从而MNOH,又MN平面BDH,OH平面BDH,所以MN平面BDH.(3)连接AC,EM,过M作MPAC于点P.在正方体ABCD-EFGH中,ACEG,所以MPEG.过P作PKEG于点K,连接KM,所以EG平面PKM,从而KMEG.所以PKM是二面角A-EG-M的平面角.设AD=2,则CM=1,PK=2,在RtCMP中,PM=CMsin 45=.在RtKMP中,KM=.所以cosPKM=.即二面角A-EG-M的余弦值为.1.(5分)已知m,n表示两条不同直线,表示平面,下列说法正确的是()A.若m,n,则mnB.若m,n,则mnC.若m,mn,则nD.若m,mn,则n【解析】选B.选项A.若m,n则m与n可能平行、相交、异面,故A错误;B.若m,n,则mn,显然成立;C.若m,mn,则n或n,故C错误;D.若m,mn,则n或n或n与相交.2.(5分)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点O为线段BD的中点.设点P在线段CC1上,直线OP与平面A1BD所成的角为,则sin 的取值范围是()A.B.C.D.【解析】选B.设正方体的棱长为1,则A1C1=,A1C=,A1O=OC1= =,OC=,所以cosA1OC1=,sinA1

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