2018届高考数学大一轮复习 第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布 第六节 离散型随机变量及其分布列教师用书 理

1、第六节离散型随机变量及其分布列2017考纲考题考情考纲要求真题举例命题角度1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性；2.理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用。2016，天津卷，16,13分(古典概型、分布列、数学期望)2015，重庆卷，18,13分(古典概型、分布列、数学期望)2015，山东卷，18,12分(古典概型、分布列、数学期望)2013，全国卷，19,12分(相互独立事件概率、分布列)1.以考查离散型随机变量的分布列及分布列性质的应用为主，常与期望、方差一起考查，另外超几何分布也是考查的热点；2.题型主要是解答题，解题时要求有较强的分析问题、解决问题的能力，要求会依据题设确定离散型随机变量的值及其相应概率。微知识小题练自|主|排|查1随机变量的有关概念如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量；若变量的所有值可以一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量。2离散型随机变量的分布列(1)概念若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，xi，xn，X取每一个值xi(i1,2,3，n)的概率P(Xxi)

2、pi，则称表Xx1x2xixnPp1p2pipn为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列，有时也用等式P(Xxi)pi，i1,2，n表示X的分布列。(2)性质pi0，i1,2,3，n；i1。3常见离散型随机变量的分布列(1)两点分布X01P1pp若随机变量X的分布列具有上表的形式，就称X服从两点分布，并称pP(X1)为成功概率。(2)超几何分布在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(Xk)，k0,1,2，m，其中mminM，n，且nN，MN，n，M，NN*。X01mP如果随机变量X的分布列具有上表的形式，则称随机变量X服从超几何分布。微点提醒1某一变量为离散型随机变量满足的条件：(1)随着试验结果变化而变化；(2)所有取值可以一一列出。2离散型随机变量的分布列指出了随机变量X的取值范围以及取各个值的概率。在求离散型随机变量的分布列时，可以用它的两条性质检验分布列的正误：一是pi0(i1,2，)；二是p1p2pn1。小|题|快|练一 、走进教材1(选修23P68A组T2改编)设随机变量X的概率分布列为X1234Pm则P(|X3|1)()A. B.C. D.【

3、解析】根据概率分布的定义得出：m1，得m，随机变量X的概率分布列为X1234P所以P(|X3|1)P(X4)P(X2)。故选B。【答案】B2(选修23P47例2改编)在含有3件次品的10件产品中，任取4件，则取到次品数X的分布列为_。【解析】由题意，X服从超几何分布，其中N10，M3，n4，所以分布列为P(Xk)，k0,1,2,3。即X0123P【答案】X0123P二、双基查验110件产品中有3件次品，从中任取2件，可作为随机变量的是()A取到产品的件数B取到正品的概率C取到次品的件数 D取到次品的概率【解析】对于A中取到产品的件数是一个常量不是变量，B，D也是一个定值，而C中取到次品的件数可能是0,1,2，是随机变量。故选C。【答案】C2设随机变量Y的分布列为Y123Pm则“Y”的概率为()A. B.C. D.【解析】因为m1，所以m，所以PP(2)P(3)。【答案】C3从1,2,3,4四个数字中任取两个数，两数之和为X，则P(X5)_。【解析】从1,2,3,4四个数字中任取两个数，共有6种选法，基本事件空间(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，X3

4、,4,5,6,7，所以P(X5)。【答案】4从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有X个红球，则随机变量X的概率分布为X012P【解析】P(X0)0.1，P(X1)0.6，P(X2)0.3。【答案】0.10.60.3微考点大课堂考点一 随机变量的概念【典例1】写出下列随机变量可能的取值，并说明随机变量所表示的意义。(1)一个袋中装有2个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数X；(2)投掷两枚骰子，所得点数之和为X，所得点数的最大值为Y。【解析】(1)X可取0,1,2。X0表示所取的三个球没有白球；X1表示所取的三个球是1个白球，2个黑球；X2表示所取的三个球是2个白球，1个黑球。(2)X的可能取值有2,3，12，Y的可能取值为1,2,3，6。若以(i，j)表示先后投掷的两枚骰子出现的点数，则X2表示(1,1)；X3表示(1,2)，(2,1)；X4表示(1,3)，(2,2)，(3,1)；X12表示(6,6)。Y1表示(1,1)；Y2表示(1,2)，(2,1)，(2,2)；Y3表示(1,3)，(2,3)，(3,3)，(3,1)，(3,2)；Y6表示(1,6)，(2,

5、6)，(3,6)，(6,6)，(6,5)，(6,1)。反思归纳所谓的随机变量就是试验结果和实数之间的一个对应关系，随机变量是将试验的结果数量化，变量的取值对应随机试验的某一个随机事件。写随机变量表示的结果，要看三个特征：可用数来表示；试验之前可以判断其可能出现的所有值；在试验之前不能确定值。【变式训练】某校为学生定做校服，规定凡身高不超过160 cm的学生交校服费80元。凡身高超过160 cm的学生，身高每超过1 cm多交3元钱(不足1 cm时按1 cm计)。若学生应交的校服费为，学生身高用表示，则和是否为离散型随机变量？【解析】由于该校的每一个学生对应着唯一的身高，并且取整数值(不足1 cm按1 cm计)，因此是一个离散型随机变量。而所以也是一个离散型随机变量。【答案】是离散型随机变量考点二 随机变量的性质【典例2】(1)设X是一个离散型随机变量，其分布列为：X101P12qq2则q等于()A1B1C1 D1(2)设离散型随机变量X的分布列为X01234P0.20.10.10.3m求|X1|的分布列。【解析】(1)由分布列的性质知所以q1。(2)由分布列的性质，知0.20.10.10

6、.3m1，m0.3。列表X01234|X1|10123P(1)P(X0)P(X2)0.20.10.3，P(0)P(X1)0.1，P(2)P(X3)0.3，P(3)P(X4)0.3。因此|X1|的分布列为：0123P0.10.30.30.3【答案】(1)C(2)见解析反思归纳利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数。【变式训练】随机变量X的分布列如下：X101Pabc其中a，b，c成等差数列，则P(|X|1)_。【解析】由题意知则2b1b，则b，ac，所以P(|X|1)P(X1)P(X1)ac。【答案】考点三 求离散型随机变量的分布列【典例3】(2016天津高考)某小组共10人，利用假期参加义工活动。已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4。现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会。(1)设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；(2)设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望。【解析】(1)由已知，有P(A)。所以，事件A发生的概率为。(2)随机变量X的所有可能

7、取值为0,1,2。P(X0)，P(X1)，P(X2)。所以，随机变量X的分布列为X012P随机变量X的数学期望E(X)0121。【答案】(1)(2)见解析反思归纳求离散型随机变量X的分布列的步骤：理解X的意义，写出X可能取的全部值；求X取每个值的概率；写出X的分布列。求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值对应的概率，在求解时，要注意应用计数原理、古典概型等知识。【变式训练】(2016广西质检)某技术公司新开发了A，B两种新产品，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为正品，小于82为次品，现随机抽取这两种产品各100件进行检测，检测结果统计如下：测试指标70,76)76,82)82,88)88,94)94,100产品A81240328产品B71840296(1)试分别估计产品A、产品B为正品的概率；(2)生产一件产品A，若是正品可盈利80元，次品则亏损10元；生产一件产品B，若是正品可盈利100元，次品则亏损20元，在(1)的前提下，记X为生产一件产品A和一件产品B所得的总利润，求随机变量X的分布列。【解析】(1)产品A为正品的概率约为。产品B为正品的概率约为。(2)随机变量X的所有取值为180,90,60，30。P(X180)；P(X90)；P(X60)；P(X30)。所以随机变量X的分布列为：X180906030P【答案】(1)产品A、B为正品概率分别为，(2)见解析考点四 超几何分布母题发散【典例4】(2015重庆高考改编)端午节吃粽子是我国的传统习俗。设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同。从中任意选取3个。(1)求三种粽子各取到1个的概率；(2)设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列。【解析】(1)令A表示事件“三种粽子各取到1个”，则由古典概型的概率计算公式有P(A)。(2)X的所有可能值为0,1,2，且P(X0)，P(X1)，P(X2)。综上知，X的分布列为X012P【答案】(1)(2)见解析【母题变式】若本典例中的X表示取到的粽子的种类，求X的分布列。【解析】由题意知X的所有可能值为1,2,3，且P(X1)，P(X3)，P(X2

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