2018届高考数学大一轮复习 第三章 三角函数、解三角形 第三节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式教师用书 理

1、第三节两角和与差的正弦、余弦和正切公式2017考纲考题考情考纲要求真题举例命题角度1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式；2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式；3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；4.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆)。2016，全国卷，9,5分(两角和差与二倍角公式)2015，全国卷，2,5分(两角差正弦公式)2014，全国卷，14,5分(两角和与差三角公式、三角函数最值)2014，全国卷，15,5分(给值求值)和差角公式、二倍角公式常与三角函数的求值、化简交汇命题，有时也与解三角形、三角函数的性质交汇考查。微知识小题练自|主|排|查1两角和的正弦、余弦、正切公式(1)sin()sincoscossin。(2)cos()coscossinsin。(3)tan()。2两角差的正弦、余弦、正切公式(1)sincoscossinsin()。(2)coscossinsincos()。(3)tan()。3常用公式的变化

2、形式(1)asinbcossin()，其中cos，sin或asinxbcosxcos(x)，其中cos，sin。(2)tantantan()(1tantan)。(3)tan。(4)tan。微点提醒应用公式时要三看：角，名，形。(1)角：观察角之间的关系，如()，2等，通过观察角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分与组合，从而正确使用公式。(2)名：观察三角函数的名称之间的关系，如sin，cos，tan的关系，常常要用到同角关系、诱导公式。通过观察函数名称之间的关系，确定使用的公式，常见的有“切化弦”“弦化切”等。(3)形：观察已知与未知的表达式之间的关系，主要是公式的变形应用。分析表达式的结构特征，寻求变形的方向，迅速准确地使用公式。小|题|快|练一 、走进教材1(必修4P131练习T5改编)计算：sin108cos42cos72sin42_。【解析】原式sin(18072)cos42cos72sin42sin72cos42cos72sin42sin(7242)sin30。【答案】2(必修4P137A组T5改编)已知cos，则cos_。【解析】因为，所以，又cos，所以sin ，所以c

3、oscoscoscossinsin。【答案】3(必修4P146A组T3)已知，都是锐角，tan，sin，则2的大小为_。【解析】因为为锐角，且sin，所以tan，所以tan2。故tan(2)1。又因为为锐角，且sinsin，所以02。因为为锐角，且tantan，所以0。所以02，所以2。【答案】二、双基查验1sin34sin26cos34cos26的值是()A. B.C D【解析】sin34sin26cos34cos26(cos34cos26sin34sin26)cos(3426)cos60。故选C。【答案】C2若，则tan2等于()AB. CD.【解析】由，等式左边分子、分母同除以cos得，解得tan3，则tan2。故选B。【答案】B3(2015重庆高考)若tan，tan()，则tan等于()A.B. C.D.【解析】tantan()。故选A。【答案】A4设sin2sin，则tan2的值是_。【解析】sin22sincossin，cos。sin，tan。tan2。【答案】5tan20tan40tan20tan40_。【解析】tan(2040)，tan20tan40tan20tan40

4、，即tan20tan40tan20tan40。【答案】微考点大课堂考点一 三角公式的运用多维探究角度一：直接运用公式【典例1】(2016全国卷)若cos，则sin2()A.B.C D【解析】因为coscoscossinsin(sincos)，所以sincos，所以1sin2，所以sin2。故选D。【答案】D角度二：公式的逆用与变形应用【典例2】(1)已知sincos，则sin2()A. B.C. D.(2)计算tan25tan35tan25tan35_。【解析】(1)sincos，(sincos)212sincos，sin2，sin2。故选B。(2)因为tan(2535)，所以tan25tan35tan60(1tan25tan35)tan25tan35，所以tan25tan35tan25tan35。【答案】(1)B(2)角度三：角的变换【典例3】(1)设、都是锐角，且cos，sin()，则cos等于()A. B.C.或 D.或(2)已知cossin，则sin的值是_。【解析】(1)依题意得sin，cos()。又，均为锐角，所以0cos()。因为，所以cos()。于是coscos()co

5、s()cossin()sin。故选A。(2)cossin，cossin，sin，sin，sinsin。【答案】(1)A(2)反思归纳1.三角函数公式活用技巧(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式。(2)tantan，tantan(或tantan)，tan()(或tan()三者中可以知二求一，注意公式的正用、逆用和变形使用。2利用角的变换求三角函数值的策略(1)当“已知角”有两个时，一般把“所求角”表示为两个“已知角”的和或差的形式；(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”。考点二 三角函数求值多维探究角度一：给值求值【典例4】(1)已知sin，求sin的值。(2)已知，sin()，cos()，求cos2的值。【解析】(1)，。又sin0，。cos 。sinsinsincoscossin。(2)0，sin() 。，cos()。于是cos2cos()()cos()cos()sin()sin()。【答案】(1)(2)角度二：给值求角【典例5】已知，为锐角，sin，cos()，求2。【解析】

6、sin，cos。cos()，(0，)，sin()。sin(2)sin()sincos()cossin()0。又2。2。【答案】反思归纳1.“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解。2“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，最后确定角。考点三 三角恒等变换的综合应用【典例6】已知函数f(x)sin6sinxcosx2cos2x1，xR。(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值。【解析】(1)f(x)sin2xcoscos2xsin3sin2xcos2x2sin2x2cos2x2sin。所以f(x)的最小正周期T。(2)x，2x，所以f(x)在区间上是增函数，在区间上是减函数，又f(0)2，f2，f2，故函数f(x)在上的最大值为2，最小值为2。【答案】(1)(2)最大值为2，最小值为2反思归纳三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为yAsin

7、(x)的形式再研究其性质，解题时注意观察角、名、结构等特征，注意利用整体思想解决相关问题。【变式训练】(2016沈阳质检)已知函数f(x)2sinxsin。(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；(2)当x时，求函数f(x)的值域。【解析】(1)f(x)2sinxsin2xsin。所以函数f(x)的最小正周期为T。由2k2x2k，kZ，解得kxk，kZ，所以函数f(x)的单调递增区间是，kZ。(2)当x时，2x，sin，f(x)。故f(x)的值域为。【答案】(1)最小正周期为单调递增区间为kZ(2)微专题巧突破在解决三角函数式的求值问题时，要注意题目中角的范围的限制，特别是进行开方运算时一定要注意所求三角函数值的符号。另外，对题目隐含条件的挖掘也是容易忽视的问题，解题时要加强对审题深度的要求与训练，以防出错。三角函数求值忽视角的范围致误【典例】(1)已知0，且cos，sin，则cos()的值为_。(2)已知在ABC中，sin(AB)，cosB，则cosA_。【易错分析】(1)角，的范围没有确定准确，导致开方时符号错误。(2)对三角形中角的范围挖掘不够，忽视隐含条件，B为钝角。【解析】(1)0，cos，sin，coscoscoscossinsin，c

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