2017年高中数学 第一讲 不等式和绝对值不等式 1.1.3 三个正数的算术-几何平均不等式课时提升作业(含解析)新人教a版选修4-5
6页1、三个正数的算术-几何平均不等式课时提升作业一、选择题(每小题6分,共18分)1.函数y=x2(1-5x)的最大值为()A.B.C.D.【解析】选A.因为0x,所以1-5x0,所以y=x2(1-5x)=.当且仅当x=1-5x,即x=时取“=”.2.设a,b,c都是正数,且a+2b+c=1,则+的最小值为()A.9B.12C.6-2D.6+4【解析】选D.因为a,b,c都是正数,且a+2b+c=1,所以+=(a+2b+c) =4+4+2+2+2=6+4,当且仅当a=c=b时等号成立.所以+的最小值是6+4.3.(2016商丘高二检测)若a,b,c0且a(a+b+c)+bc=4-2,则2a+b+c的最小值为()A.-1B.+1C.2+2D.2-2【解析】选D.因为a(a+b+c)+bc=4-2即(a+b)(a+c)=4-2,又a,b,c0所以(a+b)(a+c)=所以2a+b+c2-2.二、填空题(每小题6分,共12分)4.已知a,b,cR+,且满足a+2b+3c=1,则+的最小值为_.【解析】因为a,b,cR+,且满足a+2b+3c=1,所以+=(a+2b+3c)33=9,当且仅当a=2b
2、=3c=时取等号.因此+的最小值为9.答案:95.(2016唐山高二检测)已知x,y,zR+,且x+3y+4z=6,则x2y3z的最大值为_.【解析】因为x,y,zR+,且x+3y+4z=6,所以6=x+3y+4z=+y+y+y+4z6,所以x2y3z1.答案:1三、解答题(每小题10分,共30分)6.若a,b,c0,求证:a2+b2+c2+6.【证明】因为a,b,c0,所以a2+b2+c23又+3,所以9a2+b2+c2+3+92=6,当且仅当a=b=c时等号成立.7.(2016哈尔滨高二检测)设正实数x,y,z满足x+2y+z=1,求+的最小值.【解析】因为正实数x,y,z满足x+2y+z=1,所以+=+=1+1+2=7,当且仅当=,即x+y=,y+z=时,取等号.所以+的最小值为7.8.已知实数a,b,cR,a+b+c=1,求4a+4b+的最小值,并求出取最小值时a,b,c的值.【解析】由平均不等式,得4a+4b+3=3(当且仅当a=b=c2时等号成立).因为a+b+c=1,所以a+b=1-c,则a+b+c2=c2-c+1=+,当c=时,a+b+c2取得最小值.从而当a=b=,c
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