2018届高考数学一轮复习 2.2函数的单调性与最值课件 文 湘教版

1、2.2 函数的单调性与最值,1.函数的单调性 (1)单调函数的定义,f(x1)f(x2),f(x1)f(x2),(2)单调性、单调区间的定义 若函数f(x)在区间D上是 或 ,则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性, 叫做f（x）的单调区间. 【思考探究】 1.单调区间与函数定义域有何关系？ 提示： 单调区间是定义域的子区间,2.函数的最值,【思考探究】 2.最值与函数的值域有何关系? 提示： 函数的最小值与最大值分别是函数值域中的最小元素与最大元素;任何一个函数,其值域必定存在,但其最值不一定存在.,增函数,减函数,区间D,f(x)M,f(x0)=M,f(x)M,.f(x0)=M,1.下列函数中,在区间(0,+)上不是增函数的是（ ） A.y=2x+1 B.y=3x2+1 C.y= D.y=|x|,解析: y= 在（0，+）上为减函数. 答案： C,2.若函数f（x)4x2mx5在2，)上递增， 在（，2上递减，则f（1)（ ) A.7 B.1 C.17 D.25,【解析】依题意，知函数图象的对称轴为x 2， 即m16，从而f（x)4x216x5, f（1)416525.

2、【答案】D,3.（2014佛山月考)若函数yax与ybx在（0，)上都是减函数 ，则yax2bx在（0，)上是（) A.增函数 B.减函数 C.先增后减 D.先减后增,【解析】yax与ybx在（0，)上都是减函数， a0，b0，yax2bx的对称轴方程x 0， yax2bx在（0，)上为减函数. 【答案】B,4.已知f(x)为R上的增函数,且满足f( )f(2),则x的取值区间是 .,5.函数f(x)= 在2,3上的最小值为 ,最大值为 .,判断或证明函数的单调性,用定义证明函数单调性的一般步骤 (1)取值:即设x1,x2是该区间内任意两个值,且x1x2. (2)作差:即f(x2)-f(x1)(或f(x1)-f(x2),并通过通分、配方、因式分解等方法，向有利于判断差的符号的方向变形. (3)定号:根据给定的区间和x2-x1的符号,确定差f(x2)-f(x1)(或f(x1)-f(x2)）的符号.当符号不确定时,可以进行分类讨论. (4)判断:根据定义得出结论.,试讨论函数f(x)= ,x(-1,1)的单调性（其中a0）.,解析: 任取x1,x2(-1,1),且x1x2, 则f(x2)-

3、f(x1)= - = . -1x1x21, |x1|1,|x2|1,x1-x20,x12-10,x -10,|x1x2|1, 即-1x1x21,x1x2+10， 0， 因此，当a0时，f（x2）-f（x1）0， 即f（x2）f（x1），此时函数为减函数； 当a0时，f（x2）-f（x1）0， 即f（x1）f（x2），此时函数为增函数.,函数的单调性有如下几个方面的基本应用 (1)利用定义确定函数的单调区间，并同时确定单调性； （2）利用函数的单调性求解函数不等式； （3）在已知函数单调性的条件下求待定参数的取值范围.,函数单调性的基本应用,已知函数f(x)= (a1,且a0). （1）若a0，试确定函数的单调区间，并指出相应的单调性； （2）若f(x)在区间（0，1上是减函数，试求实数a的取值范围.,函数的最值（值域）,求下列函数的值域： （1) y ； （2) yx22x3，x（1，4； （3) y ，x3，5； （4) y （x1).,【解析】（1) （换元法)设 t，t0， 则 y （t22)t ， 当t 时，y有最小值 ，故所求函数的值域为. （2) （配方法)配方，得y（x1

4、)24，因为x（1，4， 结合图象知，所求函数的值域为4，5. （3) 方法一由y ，结合图象知， 函数在3，5上是增函数，所以ymax ，ymin ， 故所求函数的值域是 .,方法二由y ，得x . 因为x3，5，所以3 5，解得 y ， 即所求函数的值域是 . （4) （基本不等式法)令tx1，则xt1（t0)， 所以y （t0). 因为 ，当且仅当t ，即x 1时，等号成立， 故所求函数的值域为2 2，).,【变式训练】3.求下列函数的值域： （1) f（x) （2) g（x) （3) ylog3xlogx31.,【解析】（1) 由 1-x0， x+30， 解得3x1. f（x) 的定义域是 . y0， y242 ， 即y242 （-3x1） 令t（x)（x+1)24（-3x1） x ，由t（-3）0，t（-1）4，t（1）0， 0t（x）4，从而y2 ，即y ， 函数fx的值域是,（2) （x3且x4). x3且x4， . 函数gx的值域是， （3) 函数的定义域为x|x0且x1. 当x1时，log3x0，ylog3xlogx31 2 -11； 当0x1时，log3x0，ylo

5、g3xlogx31 （log3x)（logx3)213. 所以函数的值域是（，31，).,已知函数f（x)= 的定义域为m,n，且1mn2. （1）讨论函数f（x)的单调性； （2）证明：对于任意的实数x1、x2m,n 不等式|f（x1)f（x2)|1恒成立.,【解析】（1）f（x)= = 令 =t，则t= ， 函数t= 在 m , 上单调递减 在 , n上单调递增 t 且f（x)化为关于t的函数为 g（t)= ，t 由于1m2，故g（t)是定义域上的单调增函数， f（x)与t= 有相同的增减性， 即f（x)在m, 上单调递减，在 ,n上单调递增.,【变式训练】4. （2013南京调研) 已知函数f（x) ，常数a0. （1)设mn0，证明：函数f（x)在m，n上单调递增； （2)设0mn且f（x)的定义域和值域都是m，n， 求常数a的取值范围.,【解析】（1)证明：任取x1，x2m，n，且x1x2， 则f（x1)f（x2) 因为x1x2，x1，x2m，n，所以x1x20， 即f（x1)f（x2)，故f（x)在m，n上单调递增. （2)因为f（x)在m，n上单调递增， f（x)的定义域

6、、值域都是m，n f（m)m，f（n)n， 即m，n是方程 x的两个不等的正根 a2x2（2a2a)x10有两个不等的正根. 所以（2a2a)24a20且 0 a12. 即常数a的取值范围是,1.求函数的单调区间 首先应注意函数的定义域,函数的增减区间都是其定义域的子集;其次掌握一次函数、二次函数等基本初等函数的单调区间.常用方法有:根据定义,利用图象和单调函数的性质,还可以利用导数的性质. 2.复合函数的单调性 对于复合函数y=f(g(x),若t=g(x)在区间(a,b)上是单调函数,且y=f(t)在区间(g(a),g(b)）或者（g（b）,g(a)上是单调函数,若t=g(x)与y=f(t)的单调性相同(同时为增或减),则y=f(g(x)为增函数;若t=g(x)与y=f(t)的单调性相反,则y=f(g(x)为减函数.简称为:同增异减. 3.函数的单调区间是指函数在定义域内的某个区间上单调递增或单调递减.单调区间要分开写,即使在两个区间上的单调性相同,也不能用并集表示. 4.两函数f(x)、g（x）在x（a，b）上都是增（减）函数，则f（x）+g（x）也为增（减）函数，但f（x）g（x）， 等的单调性与其正负有关，切不可盲目类比.,从近两年的高考试题来看,函数单调性的判断和应用以及函数的最值问题是高考的热点,题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中等偏高；客观题主要考查函数的单调性、最值的灵活确定与简单应用，主观题在考查基本概念、重要方法的基础上，又注重考查函数方程、等价转化、数形结合、分类讨论的思想方法.,1.（2014福建卷） 已知函数f（x) x2+1,x0, cos x,x0, 则下列结论正确的是（ ) A.f（x)是偶函数 B.f（x)是增函数 C.f（x)是周期函数 D.f（x)的值域为1，),【解析】由函数f（x)的解析式知，f（1)2，f（1)cos（1)cos 1 f（1)f（1)，则f（x)不是偶函数； 当x0时，f（x)x21，则f（x)在区间（0，)上是增函数， 且函数值f（x)1； 当x0时，f（x)cos x，则f（x)在区间（，0上不是单调函数 ，且函数值f（x)1，1. 函数f（x)不是单调函数，也不是周期函数 ， 其值域为1，). 【答案】D,

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