2018高中数学 精讲优练课型 第二章 平面向量 2.3.4 平面向量共线的坐标表示课件 新人教版必修4

1、2.3.4 平面向量共线的坐标表示,【知识提炼】 平面向量共线的坐标表示 (1)条件：a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，其中_. (2)结论：当且仅当_时，向量a，b(b0)共线.,b0,x1y2-x2y1=0,【即时小测】 1.思考下列问题. (1)已知a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，若ab，则必有x1y2=x2y1对吗？ 提示：对.根据两向量共线的坐标表示知正确. (2)已知a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，若ab，是否有 成立？ 提示：由于 的意义与x1y2-x2y1=0的意义不同，前者不允许x2和y2为零，而后者允许，所以当向量a，b之一为零向量或向量a，b与坐标轴平行时，该等式不适用.,2.下列各组向量中，共线的是( ) A.a=(-2，3)，b=(4，6) B.a=(2，3)，b=(3，2) C.a=(1，-2)，b=(7，14) D.a=(-3，2)，b=(6，-4) 【解析】选D.由两向量共线的坐标表示知，对于D，(-3)(-4)-26=0，所以共线，其他均不满足.,3.已知a=(1，2)，b=(x，4)，若ab，则x等于( ) A.- B. C.-

2、2 D.2 【解析】选D.因为ab，所以4-2x=0，所以x=2.,4.已知A(1，2)，B(2，-1)，写出一个与 平行且方向相反的向量 a=_. 【解析】因为 =(1，-3)，则与 平行且方向相反的向量a= (0)，则当=-1时，a=(-1，3). 答案：(-1，3)(答案不唯一),5.若A(3，-6)，B(-5，2)，C(6，y)三点共线，则y=_. 【解析】 =(-8，8)， =(11，y-2)，则 ，所以-8(y-2)-811=0，解得y=-9. 答案：-9,【知识探究】 知识点 平面向量共线的坐标表示 观察图形，回答下列问题：,问题1：前面所学的两个向量共线的条件是什么？是否可以转化为坐 标形式？ 问题2：两个向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)平行的条件 与x1y2- x2y1=0的适用情况有何不同？,【总结提升】 两个向量共线条件的三种表示方法 已知a=(x1，y1)，b=(x2，y2). (1)当b0时，a=b. 这是几何运算，体现了向量a与b的长度及方向之间的关系. (2)x1y2-x2y1=0. 这是代数运算，用它解决向量共线问题的优点在于不需要引入参数“”

3、，从而减少未知数的个数，而且使问题的解决具有代数化的特点，程序化的特征.,(3)当x2y20时， . 即两向量的相应坐标成比例，通过这种形式较易记忆向量共线的坐标表示，而且不易出现搭配错误.,【题型探究】 类型一 共线向量的判定 【典例】1.已知向量a=(1，2)，b=(，1)，若(a+2b)(2a-2b)，则的值等于( ) A. B. C.1 D.2 2.已知a=(1，2)，b=(-3，2)，当k为何值时，ka+b与a-3b平行？平行时它们是同向还是反向？,【解题探究】1.典例1中a+2b，2a-2b的坐标怎样求出？ 提示：利用向量的数乘公式及加减法的坐标表示求解. 2.两向量平行时，两向量间有怎样的关系？如何判断它们是同向还是反向？ 提示：两向量平行时，两向量之间存在实数倍关系，当实数大于零时，两向量同向；当实数小于零时，两向量反向.,【解析】1.选A.方法一：a+2b=(1，2)+2(，1)=(1+2，4)， 2a-2b=2(1，2)-2(，1)=(2-2，2)， 由(a+2b)(2a-2b)可得2(1+2)-4(2-2)=0， 解得= .,方法二：假设a，b不共线，则由(a+2

4、b)(2a-2b)可得a+2b=(2a-2b)， 从而 方程组显然无解，即a+2b与2a-2b不共线，这与a+2b (2a-2b)矛盾，从而假设不成立，故应有a，b共线，所以 即= .,2.方法一：ka+b=k(1，2)+(-3，2)=(k-3，2k+2)， a-3b=(1，2)-3(-3，2)=(10，-4)， 当ka+b与a-3b平行时，存在唯一实数， 使ka+b=(a-3b)， 即(k-3，2k+2)=(10，-4)， 所以 解得k=- .,当k=- 时，ka+b与a-3b平行， 这时 因为=- 0，所以ka+b与a-3b反向.,方法二：由方法一知ka+b=(k-3，2k+2)， a-3b=(10，-4)， 因为ka+b与a-3b平行， 所以(k-3)(-4)-10(2k+2)=0，解得k=- . 故ka+b与a-3b反向.,【延伸探究】 1.(变换条件)若将典例2中的条件“a=(1，2)，b=(-3，2)”改为“b=(1，2)，a=(-3，2)”结果如何？ 【解析】ka+b=k(-3，2)+(1，2)=(-3k+1，2k+2)， a-3b=(-3，2)-3(1，2)=(-6，-

5、4)， 当ka+b与a-3b平行时，存在唯一实数， 使ka+b=(a-3b)，,由(-3k+1，2k+2)=(-6，-4)， 得 解得k=- . 当k=- 时，ka+b与a-3b平行， 这时 因为=- 0，所以ka+b与a-3b反向.,2.(改变问法)典例2中已知条件不变，若问题改为“当k为何值时，a+kb与3a-b平行？”又如何求k的值？ 【解析】a+kb=(1，2)+k(-3，2)=(1-3k，2+2k)， 3a-b=3(1，2)-(-3，2)=(6，4)， 因为a+kb与3a-b平行， 所以(1-3k)4-(2+2k)6=0，解得k=- .,【方法技巧】向量共线的判定方法 (1)利用向量共线定理，由a=b(b0)推出ab. (2)利用向量共线的坐标表达式x1y2-x2y1=0直接求解.,【补偿训练】已知A(-1，-1)，B(1，3)，C(2，5)，那么 是否 共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？ 【解析】因为 =(1-(-1)，3-(-1)=(2，4)， =(2-(-1)，5-(-1)=(3，6)， 所以26-34=0， 所以 所以 共线. 又 所以 的方向相同.,类型二 向

6、量共线的坐标运算 【典例】1.若点A(1，-3)， C(x，1)三点共线，则x的值为_. 2.(2015张家界高一检测)已知向量a=(2，1)，b=(1，1)， c=(5，2)，m=b+c(为常数). (1)求a+b. (2)若a与m平行，求实数的值.,【解题探究】1.典例1中，A，B，C三点共线会得到哪些向量平行？ 提示：以A，B，C三点任意两点为端点的两个向量平行. 2.典例2中，求实数的步骤是什么？ 提示：首先根据向量坐标运算法，用表示出m的坐标，然后依据am及向量共线的坐标表示列出关于的方程.最后解方程求出.,【解析】1. =(x-1，4)，因为A，B，C三点共线， 所以 共线， 所以74- (x-1)=0，解得x=9. 答案：9,2.(1)因为a=(2，1)，b=(1，1)， 所以a+b=(2，1)+(1，1)=(3，2). (2)因为b=(1，1)，c=(5，2)， 所以m=b+c=(1，1)+(5，2)=(+5，+2). 又因为a=(2，1)，且a与m平行， 所以2(+2)=+5，解得=1.,【方法技巧】 1.三点共线的实质与证明策略 (1)实质：三点共线问题的实质是向量

7、共线问题两个向量共线只需满足方向相同或相反，两个向量共线与两个向量平行是一致的 (2)证明步骤：利用向量平行证明三点共线需分两步完成：证明向量平行；证明两个向量有公共点,2.利用向量平行的条件处理求值问题的思路 (1)利用共线向量定理a=b(b0)列方程组求解. (2)利用向量平行的坐标表达式x1y2-x2y1=0直接求解.,【变式训练】设点A(x，1)，B(2x，2)，C(1，2x)，D(5，3x)，当x 为何值时， 共线且方向相同，此时，A，B，C，D能否在同一 条直线上？,【解析】 =(2x，2)-(x，1)=(x，1)， =(1，2x)-(2x，2)=(1-2x，2x-2)， =(5，3x)-(1，2x)=(4，x) 由 共线，所以x2=14，所以x=2. 又 方向相同，所以x=2. 此时， =(2，1)， =(-3，2)，而22-31，所以 不共线， 所以A，B，C三点不在同一条直线上 所以A，B，C，D不在同一条直线上,类型三 共线向量在几何中的应用 【典例】1.已知P1(2，-1)，P2(-1，3)，P在直线P1P2上，且 则P点的坐标为_ 2.在AOB中，已知点O(0，

8、0)，A(0，5)，B(4，3)， AD与BC交于点M，求点M的坐标,【解题探究】1.典例1中由 如何确定P点的坐标？ 提示：设P点坐标为(x，y)，由 建立 x，y之间的等量关系. 2.典例2中由AD与BC交于点M，能够确定哪两对向量是共线的？ 提示：由AD与BC交于点M，可以得到 共线， 共线.,【解析】1.因为 设P点坐标为(x，y)， 则 =(x-2，y+1)， =(-1-x，3-y) 所以(x-2，y+1)= (-1-x，3-y)， 所以 即 故P点坐标为 . 答案：,2.因为点O(0，0)，A(0，5)，B(4，3)， 所以 =(0，5)， =(4，3). 因为 所以点C的坐标为 . 同理可得点D的坐标为 . 设点M的坐标为(x，y)，则 =(x，y-5)，而 因为A，M，D三点共线， 所以 共线.,所以- x-2(y-5)=0.即7x+4y=20. 而 因为C，M，B三点共线，所以 共线. 所以 即7x-16y=-20. 由得x= ，y=2. 所以点M的坐标为( ，2).,【延伸探究】若典例1中条件“ ”变为“ ”， 则P点的坐标如何？ 【解析】(1)当 同向时，P点坐标

9、为,(2)当 反向时，则有 设P点坐标为(x，y)， 所以(x-2，y+1)=- (-1-x，3-y)， 所以 即 故P点坐标为(8，-9) 综上可得，P点坐标为 或(8，-9).,【方法技巧】应用向量共线的坐标表示求解几何问题的步骤,【变式训练】已知A(-1，0)，B(3，-1)，C(1，2)，并且 求证： 【证明】设E(x1，y1)，F(x2，y2)， 依题意有 因为 所以 所以,因为,【补偿训练】1.ABC的三个内角A，B，C所对的边的长分别为a，b， c，设向量p=(a+c，b)，q=(b，c-a)，若pq，则角C的大小为( ) 【解析】选C.因为pq，所以(a+c)(c-a)-bb=0，即c2=a2+b2， 所以C= .,2.已知直角坐标平面上四点A(1，0)，B(4，3)，C(2，4)，D(0，2)，求证：四边形ABCD是等腰梯形,【证明】由已知得， =(4，3)-(1，0)=(3，3)， =(0，2)-(2，4)=(-2，-2) 因为3(-2)-3(-2)=0，所以 与 共线 =(-1，2)， =(2，4)-(4，3)=(-2，1)， 因为(-1)1-2(-2)0，所以 与 不共线 所以四边形ABCD是梯形 因为 =(-2，1)， =(-1，2)， 所以 即BC=AD. 故四边形ABCD是等腰梯形,巧思妙解 利用共线向量的坐标表示求点的坐标 【典例】(2015淄博高一检测)如图，已知点A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，则AC与OB的交点P的坐标为_.,【常规解法】设P(x，y)，分别过点C，P作x轴的垂线，

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