2018-2019学年高中数学第二章推理与证明2.2直接证明与间接证明2.2.2反证法课件新人教b版选修(1)

1、2.2.2 反证法,1.了解反证法是间接证明中最基本和最常用的一种方法. 2.熟练掌握用反证法证题的三个步骤:(1)反设;(2)归谬;(3)结论. 3.认识反证法在数学证明中的重要作用;学会用反证法证题,并能根据题目的类型合理选择证明问题的方法;学会寻找问题中的矛盾,进行正确推理.,反证法 一般地,由证明pq转向证明qrt, t与假设矛盾,或与某个真命题矛盾,从而判定q为假,推出q为真的方法,叫做反证法. 知识拓展(1)反证法的实质:证明命题的否定为假,所以命题为真. (2)应用反证法证明数学命题的一般步骤: 分清命题的条件和结论; 作出与命题结论相矛盾的假定; 由假定出发,应用正确的推理方法,推出矛盾的结果; 断定产生矛盾结果的原因,在于开始所作的假定不真,于是原结论成立,从而间接地证明命题为真.,(3)反证法的适用情形: 否定性命题; 唯一性问题; 至多至少问题. (4)用反证法证明命题得出矛盾的方法: 与假定矛盾; 与数学公理、定理、公式、定义或已被证明了的结论矛盾; 与公认的简单事实矛盾.,(5)反证法常用的否定形式:,【做一做1】 命题“a,b是实数,若|a-1|+|b-1|

2、=0,则a=b=1”用反证法证明时,应假设 . 解析:“a=b=1”是“a=1,且b=1”,又因为“p且q”的否定为“非p或非q”,所以“a=b=1”的否定为“a1或b1”. 答案:a1或b1 【做一做2】 用反证法证明命题“若x2-(a+b)x+ab0,则xa,且xb”时,应假设 . 答案:x=a或x=b,如何理解反证法? 剖析:反证法证题的特征:通过导出矛盾、归结谬误,而使命题得证. 反证法的原理是“否定之否定等于肯定”. 反证法解题的实质就是否定结论导出矛盾,从而说明原结论正确,即证明命题的逆否命题成立.否定结论:对结论的反面要一一否定,不能遗漏;否定一个反面之反证法称为归谬法,否定两个或两个以上反面之反证法称为穷举法.要注意用反证法解题时,结论的否定在推理论证中可以作为已知使用,导出矛盾是指在假设的前提下,逻辑推理结果与“已知条件、假设、公理、定理或显然成立的事实”等相矛盾. 用反证法证明不等式,常用的否定形式有:“”的反面为“”;“”的反面为“”;“”的反面为“”;“”的反面为“=”;“=”的反面为“”.,反证法属逻辑方法范畴,它的严谨体现在它的原理上,即“否定之否定等于肯定

3、”.其中:第一个否定是指“否定结论”;第二个否定是指“逻辑推理结果否定了假设”.反证法属“间接解题方法”,书写格式易错之处是“假设”易错写成“设”. 反证法不是直接证明结论,而是先否定结论,在否定结论的基础上运用演绎推理,导出矛盾,从而肯定结论的正确性.,题型一,题型二,题型三,题型四,否定性命题的证明 【例题1】 设数列an是公比为q的等比数列,Sn是它的前n项和. 求证:数列Sn不是等比数列. 分析:本题是否定性命题,可以尝试用反证法证明. 证明:证法一:(反证法)假设数列Sn是等比数列,则 =S1S3, 即 (1+q)2=a1a1(1+q+q2). 因为a10,所以(1+q)2=1+q+q2,即q=0,这与q0矛盾,故数列Sn不是等比数列. 证法二:要证数列Sn不是等比数列,只需证明SnSn+2 因为Sn+1=a1+qSn,Sn+2=a1+qSn+1, 所以 (a1+qSn+1)-(a1+qSn)Sn+1=a1(Sn-Sn+1)=-a1an+10. 所以数列Sn不是等比数列.,题型一,题型二,题型三,题型四,反思本题的解答依据是等差数列和等比数列的概念和性质,体现了特殊化思想和正

4、难则反的思维策略.,题型一,题型二,题型四,题型三,至多、至少问题的证明 【例题2】 求证:当m为实数时,关于x的一元二次方程x2-5x+m=0与2x2+x-6-m=0至少有一个方程有实根. 分析:从正面证明难以入手,考虑应用反证法证明. 证明:假设上述两个方程都无实根, 则,因为满足的实数m不存在. 所以当mR时,所给两个方程至少有一个方程有实根. 反思凡含有“至少”“至多”等词语的命题宜采用反证法证明.,题型一,题型二,题型三,题型四,唯一性命题的证明 【例题3】 已知:直线a,b为两条相交直线. 求证:a与b有且只有一个交点. 分析:“有且只有”“唯一”等问题常考虑应用反证法证明. 证明:假设结论不成立,即有两种可能:无交点、至少有两个交点. 若直线a,b无交点,则ab或a,b异面,这与已知“a,b为两条相交直线”矛盾; 若直线a,b至少有两个交点A和B,这样同时经过点A,B就有两条直线,这与“经过两点有且只有一条直线”相矛盾. 综上所述,两条相交直线a,b有且只有一个交点. 反思结论以“有且只有”“只有一个”“唯一存在”等形式出现的命题,由于反设结论易于导出矛盾,所以用反证法证

5、其唯一性简单明了.,题型一,题型二,题型三,题型四,易错辨析 易错点:运用反证法证明命题时,第一步否定结论易错,因为有些结论的对立面不易确定,从而出错,解决的方法是:(1)利用集合思想检验;(2)对特殊的关键词,要记住它的否定形式. 【例题4】 用反证法证明命题“若ab不是偶数,则整数a,b都不是偶数”时,应假设 . 错解:整数a,b不都是偶数. 错因分析:整数a,b不都是偶数包括的情况是:a是偶数,b是奇数;a是奇数,b是偶数;a,b都是奇数.显然,假设并不是结论的对立面,所以不正确.题目中“整数a,b都不是偶数”即“整数a,b都是奇数”,故假设为“整数a,b不都是奇数.” 正解:整数a,b不都是奇数,1 2 3 4 5,答案:D,1 2 3 4 5,2用反证法证明“自然数a,b,c中恰有一个偶数”时的正确假设为( ) A.a,b,c都是奇数 B.a,b,c都是奇数或至少有两个偶数 C.a,b,c都是偶数 D.a,b,c中至少有两个偶数 解析:a,b,c三个数的奇偶性有以下几种情况:全是奇数;有两个奇数,一个偶数;有一个奇数,两个偶数;全是偶数.因为要否定,所以假设应为“a,b,c全

6、是奇数或至少有两个偶数”. 答案:B,1 2 3 4 5,3两条异面直线在同一个平面内的射影不可能是( ) A.两条平行直线 B.两条相交直线 C.一点与一条直线 D.同一条直线 解析:假设两条直线在同一个平面内的射影是同一条直线,则这两条直线的位置关系为平行或相交或重合,这均与两条直线异面矛盾,故异面直线在同一个平面中的射影不可能为同一条直线. 答案:D,1 2 3 4 5,4用反证法证明命题“如果a,bN+,ab可被5整除,那么a,b中至少有一个能被5整除”时,假设的内容是 . 解析:“至少有一个”的反设词是“一个都没有”,即“都不能”. 答案:a,b都不能被5整除,1 2 3 4 5,5求证:当x2+bx+c2=0有两个不相等的非零实数根时,bc0. 分析:bc0的否定形式为bc=0,包括:b=0,c=0;b=0,c0;b0,c=0三种情况,故需要分类讨论. 证明:假设bc=0. (1)若b=0,c=0,方程变为x2=0,则x1=x2=0是方程x2+bx+c2=0的两根,这与方程有两个不相等的非零实数根矛盾. (2)若b=0,c0,方程变为x2+c2=0,此时方程无解,与x2+bx+c2=0有两个不相等的非零实数根矛盾. (3)若b0,c=0,方程变为x2+bx=0,方程的根为x1=0,x2=-b,这与方程有两个不相等的非零实数根矛盾. 综上所述,可知bc0.,

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