2018-2019学年高中数学第二章推理与证明2.2直接证明与间接证明2.2.2反证法课件新人教a版选修(2)

1、2.2.2 反证法,1.了解反证法是间接证明的一种基本方法. 2.理解反证法的思考过程,会用反证法证明数学问题.,1.反证法 假设原命题不成立(即在原命题的条件下,结论不成立),经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设错误,从而证明了原命题成立,这种证明方法叫做反证法. 【做一做1】 应用反证法推出矛盾的推导过程中,要把下列哪些作为条件使用( ) 结论的否定,即假设;原命题的条件;公理、定理、定义等;原命题的结论. A. B. C. D.,解析:由反证法的定义知,应选C. 答案:C,2.反证法常见的矛盾类型 反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾,这个矛盾可以是与 已知条件矛盾,或与假设矛盾,或与定义、定理、公理、事实矛盾等.,名师点拨反证法适宜证明“存在性、唯一性、带有至少有一个或至多有一个”等字样的一些数学问题.,【做一做2】 若两个实数之和为正数,则这两个数( ) A.一个是正数,一个是负数 B.都是正数 C.至少有一个数是正数 D.都是负数 答案:C,1.怎样理解反证法? 剖析:(1)反证法不是直接去证明结论,而是先否定结论,在否定结论的基础上,运用演绎推理导出矛盾,从而肯定结

2、论的真实性. (2)反证法属逻辑方法范畴,它的严谨性体现在它的原理上,即“否定之否定等于肯定”,其中第一个否定是指“否定结论(假设)”;第二个否定是指“逻辑推理结果否定了假设”.反证法属“间接解题方法”.,2.反证法证明命题的步骤有哪些? 剖析:用反证法证明命题“若p,则q”的过程可以用以下框图表示:,这个过程包括下面三个步骤: (1)反设假设命题的结论不成立,即假设原结论的反面为真; (2)归谬把“反设”作为条件,经过一系列正确的推理,得出矛盾; (3)存真由矛盾断定反设错误,从而肯定原结论成立. 简单概括反证法的证明过程就是“反设归谬存真”.,名师点拨用反证法证明数学命题,需要注意以下几点: (1)反证法中的“反设”,是应用反证法的第一步,也是关键一步.“反设”的结论将是下一步“归谬”的一个已知条件.“反设”是否正确、全面,直接影响下一步的证明.做好“反设”应明确:正确分清题设和结论;对结论实施正确的否定;对结论否定时,找出其所有情况.,(2)反证法的“归谬”是反证法的核心,其含义是从命题结论的题设(即把“反设”作为一个新的已知条件)及原命题的条件出发,引用一系列论据进行正确推理,

3、推出与已知条件、定义、定理、公理等相矛盾的结果. (3)反证法中引出矛盾的结论,推理的不是本身的错误,而是开始假定的“结论的反面”是错误的,从而肯定原结论是正确的. (4)在反证法证题的过程中,经常画出某些不合常理的图形,甚至是不可能存在的图形,这样做的目的是为了能清楚地说明问题.在证明过程中,每一步推理所得结论的正确性,完全由它所依据的理由来保证,而不能借助图形的直观,这与用直接法通过图形找到证题的途径是完全不一样的. (5)宜用反证法证明的题型还有:一些基本命题、基本定理;易导出与已知矛盾的命题;“否定性”命题;“唯一性”命题;“必然性”命题;“至多”“至少”类的命题;涉及“无限”结论的命题等.,题型一,题型二,题型三,题型四,用反证法证明否定性命题,题型一,题型二,题型三,题型四,反思结论为否定形式的命题的证明常用反证法,通过反设首先将否定命题转化为肯定命题,然后用转化后的命题作为条件进行推理,很容易推出矛盾,从而达到证题的目的.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,用反证法证明唯一性命题 【例2】 求证:两条相交直线有

4、且只有一个交点. 证明已知:a与b是两条相交直线. 求证:a与b有且只有一个交点. 证明:假设结论不正确,则有两种可能:a与b无交点,或a与b不止有一个交点. 若直线a,b无交点, 则ab或a,b是异面直线,与已知矛盾. 若直线a,b不止有一个交点, 则至少有两个交点A和B, 这样同时经过点A,B就有两条直线, 这与“经过两点有且只有一条直线”相矛盾. 综上所述,两条相交直线有且只有一个交点.,题型一,题型二,题型三,题型四,反思1.用反证法证明问题时,要注意以下三点: (1)必须先否定结论,即肯定结论的反面,当结论的反面呈现多样性时,必须罗列出各种可能的结论,缺少任何一种可能,反证法都是不完整的; (2)反证法必须从否定结论出发进行推理,即应把结论的反面作为条件,且必须根据这一条件进行推证,否则,仅否定结论,不从结论的反面出发进行推理,就不是反证法; (3)推导出的矛盾可能多种多样,有的与已知矛盾,有的与假设矛盾,有的与事实矛盾等,但推导出的矛盾必须是明显的. 2.注意本题反设中不能漏掉“无交点”这种情况.,题型一,题型二,题型三,题型四,【变式训练2】 过平面上一点A,作直线a,求

5、证:a是唯一的. 证明:假设过点A至少还有一条直线b满足b. a,b是相交直线, a,b可以确定一个平面. 设和相交于过点A的直线c. a,b, ac,bc. 这样在平面内,过点A就有两条直线垂直于c, 这与定理产生矛盾. 故过点A垂直于平面的直线有且只有一条,即a是唯一的.,题型一,题型二,题型三,题型四,用反证法证明“至少”“至多”等存在性命题 【例3】 已知a,b,c是互不相等的实数,求证:由y=ax2+2bx+c,y=bx2+2cx+a和y=cx2+2ax+b确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点.,题型一,题型二,题型三,题型四,证明:假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x轴有两个不同的交点, 由y=ax2+2bx+c,y=bx2+2cx+a,y=cx2+2ax+b, 得1=(2b)2-4ac0,且2=(2c)2-4ab0,且3=(2a)2-4bc0. 同向不等式求和,得 4b2+4c2+4a2-4ac-4ab-4bc0, 则2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac0, (a-b)2+(b-c)2+(a-c)20, 即a=b=c. 这与题设a,b,c互不相等

6、矛盾, 因此假设不成立,从而命题得证.,题型一,题型二,题型三,题型四,反思1.当命题出现“至多”“至少”“唯一”等形式时,适合用反证法. 2.常见的“结论词”与“反设词”如下:,题型一,题型二,题型三,题型四,【变式训练3】 已知a,b,cR,且x=a2-2b+2,y=b2-4c+4,z=c2-6a+9,求证:x,y,z中至少有一个大于0. 证明:假设x,y,z均小于等于0, 即x0,y0,z0, 因此x+y+z0. 而x+y+z =(a2-2b+2)+(b2-4c+4)+(c2-6a+9) =(a2-6a+9)+(b2-2b+1)+(c2-4c+4)+1 =(a-3)2+(b-1)2+(c-2)2+10, 这与x+y+z0相矛盾, 故假设错误,即x,y,z中至少有一个大于0.,题型一,题型二,题型三,题型四,易错辨析 易错点:忽视反证法的证题思路致错 【例4】 已知实数p满足不等式(2p+1)(p+2)0,用反证法证明:关于x的方程x2-2x+5-p2=0无实根.,错因分析:错解在解题的过程中并没有用到假设的结论,故不是反证法.,题型一,题型二,题型三,题型四,反思利用反证法进行证明时,首先对所要证明的结论进行否定性的假设,并以此为条件进行归谬,得到矛盾,则原命题成立,即反证法必须严格按照“反设归谬存真”的步骤进行.,

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