（全国版）2018版高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 2.6 幂函数与二次函数课件(理)

1、第六节 幂函数与二次函数,【知识梳理】 1.幂函数 (1)定义:一般地,函数_叫做幂函数,其中底数_ 是自变量,是常数.,y=x,x,(2)幂函数的图象比较:,2.二次函数 (1)解析式: 一般式:f(x)=_. 顶点式:f(x)=_. 两根式:f(x)=_.,ax2+bx+c(a0),a(x-h)2+k(a0),a(x-x1)(x-x2)(a0),(2)图象与性质:,b=0,【特别提醒】 1.二次函数的相关结论 若f(x)=ax2+bx+c(a0),则 (1)f(x)的图象与x轴交点的横坐标是方程ax2+bx+c=0的实根.,(2)若x1,x2为f(x)=0的实根,则f(x)在x轴上截得的线 段长应为|x1-x2|= (3)当 时,恒有f(x)0;当 时,恒有f(x)0.,2.幂函数的图象和性质 (1)幂函数的图象一定会出现在第一象限内,一定不会出现在第四象限,至于是否出现在第二、三象限内,要看函数的奇偶性. (2)幂函数的图象过定点(1,1),如果幂函数的图象与坐标轴相交,则交点一定是原点.,【小题快练】 链接教材 练一练 1.(必修1P82 A组T10改编)已知幂函数f(x)=k

2、x的 图象过点 则k+= ( ) A. B.1 C. D.2,【解析】选C.因为f(x)=kx是幂函数,所以k=1.又 f(x)的图象过点 所以 所以= 所以k+=,2.(必修1P44A组T9改编)已知函数f(x)=x2+2ax+3,若y=f(x)在区间-4,6上是单调函数,则实数a的取值范围为_.,【解析】由于函数f(x)的图象开口向上,对称轴是x=-a, 所以要使f(x)在-4,6上是单调函数,应有-a-4或 -a6,即a-6或a4. 答案:(-,-64,+),感悟考题 试一试 3.(2016昆明模拟)设函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,cR),若a=c,则函数f(x)的图象不可能是 ( ),【解析】选D.由A,B,C,D四个选项知,图象与x轴均有交 点,记两个交点的横坐标分别为x1,x2,若只有一个交点, 则x1=x2,由于a=c,所以x1x2= =1,比较四个选项,可知 选项D的x1-1,x2-1,所以D不满足.,4.(2016秦皇岛模拟)若幂函数y=(m2-3m+3)xm2-m-2的 图象不经过原点,则实数m的值为_. 【解析】由 解得m=1或2. 答案:1或2,5.(

3、2016南昌模拟)已知f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函数, 且其定义域为a-1,2a,则y=f(x)的值域为_. 【解析】因为f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函数, 所以其定义域a-1,2a关于原点对称, 所以即a-1=-2a,所以a=,因为f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函数, 即f(-x)=f(x),所以b=0, 所以f(x)= 其值域为 答案:,考向一 幂函数的图象及性质 【典例1】(1)若 则下列结 论正确的是 ( ) A.abc B.acb C.cab D.bca,(2)已知幂函数f(x)=xm2-2m-3(mN*)的图象关于y轴对称,且在(0,+)上是减函数,则m的值为_. 【解题导引】(1)利用幂函数与指数函数的单调性比较. (2)先利用幂函数的单调性求出m的取值范围,再利用函数的对称性确定m的值.,【规范解答】(1)选B.因为y= 在第一象限内为增函 数,所以 因为y= 是减函数,所以 所以acb.,(2)因为f(x)在(0,+)上是减函数, 所以m2-2m-30,解得-1m3. 又mN*,所以m=1或m=2. 由于f(x)的图象关于y轴对称,所以m2-2

4、m-3为偶数, 又当m=2时,m2-2m-3为奇数,所以m=2舍去, 因此m=1. 答案:1,【易错警示】解答本例题(2)易出现以下错误 (1)对幂函数的图象不理解,不清楚x(0,+)时函数递减的含义. (2)在求得m后没有进行检验.,【母题变式】 1.若本例(2)中,将函数“f(x)=xm2-2m-3 ”变为“f(x)= (m2+2m-2)xm2-3m”,其他条件不变,则m的值如何? 【解析】由于f(x)为幂函数,所以m2+2m-2=1,解得m=1 或m=-3,经检验只有m=1适合题意,所以m=1.,2.若本例(2)中已知条件不变,则 中实数a的取值范围如何? 【解析】由典例(2)知,m=1,因为y= 在0,+) 上为增函数, 所以 等价于0a+13-2a, 解之得-1a 故实数a的取值范围是,【规律方法】 1.利用幂函数的单调性比较幂值大小的技巧 在比较幂值的大小时,必须结合幂值的特点,转化为同指数幂,再选择适当的函数,借助其单调性进行比较.,2.幂函数的指数与图象特征的关系 当0,1时,幂函数y=x在第一象限的图象特征:,【变式训练】已知幂函数y=f(x)的图象过点 则log9f

5、(3)的值为 ( ) A. B. C.2 D.-2 【解析】选A.设幂函数f(x)=x(为常数), 由题意得 解得= 所以f(x)= 所以log9f(3)=,【加固训练】 1.(2016西安模拟)函数y= 的图象大致是( ),【解析】选C.y= 其定义域为xR,排除A,B, 又0 1,图象在第一象限为上凸的,排除D,故选C.,2.(2015郑州模拟)幂函数y=xa,当a 取不同的正数时,在区间0,1上它们 的图象是一组美丽的曲线(如图).设点 A(1,0),B(0,1),连接AB,线段AB恰好被 其中的两个幂函数y=x,y=x的图象三等分,即有 BM=MN=NA.那么= ( ) A.1 B.2 C.3 D.无法确定,【解析】选A.由条件得 由一般性, 可得 即 所以,3.(2016太原模拟)当0g(x)f(x). 答案:h(x)g(x)f(x),考向二 二次函数的解析式 【典例2】(1)已知二次函数f(x)的最大值为8且满足 f(-1)=f(2)=-1,则此二次函数的解析式f(x)=_. (2)已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0),且不等式 f(x)+2x0的解集为x|1x3

6、,方程f(x)+6a=0有两个 相等的实数根,则不等式f(x)0的解集为_.,【解题导引】(1)根据条件,利用二次函数一般式、顶点式或两根式求解. (2)先根据条件求出二次函数的解析式,然后利用解一元二次不等式的方法求f(x)0的解集.,【规范解答】(1)设f(x)=ax2+bx+c(a0). 由题意得 解得 所以所求二次函数为f(x)=-4x2+4x+7. 答案:-4x2+4x+7,【一题多解】解答本题,你知道几种解法? 解答本题,还有以下解法: 方法一:(利用顶点式): 设f(x)=a(x-m)2+n. 因为f(2)=f(-1),所以抛物线的对称轴为x= 所以m= 又根据题意函数有最大值8,所以n=8. 所以y=f(x)= 因为f(2)=-1,所以 解得a=-4, 所以f(x)= =-4x2+4x+7.,方法二(利用两根式): 由已知f(x)+1=0两根为x1=2,x2=-1, 故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1), 即f(x)=ax2-ax-2a-1. 又函数有最大值ymax=8,即,解得a=-4. 所以所求函数的解析式为f(x)=-4x2+4x+7. 答案:-4x2+4x

7、+7,(2)因为f(x)+2x0的解集为(1,3), 设f(x)+2x=a(x-1)(x-3),且a0, 所以f(x)=a(x-1)(x-3)-2x=ax2-(2+4a)x+3a. 由方程f(x)+6a=0得ax2-(2+4a)x+9a=0. 因为方程有两个相等的根, 所以=-(2+4a)2-4a9a=0,解得a=1或a= 由于a0, 解得x-3+ 或x-3- . 答案:(-,-3- )(-3+ ,+),【规律方法】二次函数解析式的求法 根据已知条件确定二次函数解析式,一般用待定系数法,选择规律如下: (1)已知三个点坐标,宜选用一般式. (2)已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等,宜选用顶点式. (3)已知图象与x轴两交点坐标,宜选用两根式.,【变式训练】已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3),它在x轴上截得的线段长为2,并且对任意xR,都有f(2-x)=f(2+x),则f(x)的解析式为_.,【解析】因为f(2-x)=f(2+x)对xR恒成立, 所以f(x)的对称轴为x=2. 又因为f(x)图象被x轴截得的线段长为2, 所以f(x)=0的两根为1和3. 设f(x)的解析式为f(

8、x)=a(x-1)(x-3)(a0).,又因为f(x)的图象过点(4,3), 所以3a=3,a=1. 所以所求f(x)的解析式为f(x)=(x-1)(x-3), 即f(x)=x2-4x+3. 答案:f(x)=x2-4x+3,【加固训练】 1.若函数f(x)=(x+a)(bx+2a)(常数a,bR)是偶函数, 且它的值域为(-,4,则函数g(x)= 的递增 区间为 ( ),【解析】选B.f(x)=bx2+(ab+2a)x+2a2. 由已知条件ab+2a=0, 又f(x)的值域为(-,4, 则 因此f(x)=-2x2+4.,所以g(x)= 令-2x2+40,解得 因为0 1, 所以函数g(x)的递增区间为(0, ).,2.已知二次函数为y=x2+2kx+3-2k,则顶点位置最高时抛物线的解析式为_.,【解析】由题意可知:y=x2+2kx+3-2k=(x+k)2-k2-2k+3,所以该抛物线的顶点坐标为(-k,-k2-2k+3). 设顶点的纵坐标为y=-k2-2k+3=-(k+1)2+4,所以当k=-1时,顶点位置最高.此时抛物线的解析式为y=x2-2x+5. 答案:y=x2-2x+5,3.

9、已知二次函数图象的顶点是 与x轴的两个 交点之间的距离为6,则这个二次函数的解析式为 _.,【解析】方法一:设二次函数为y=a(x+2)2+ 即y=ax2+4ax+4a+ 设与x轴的交点坐标为 (x1,0),(x2,0).则|x1-x2|= 得a= 所以二次函数的解析式为y=,方法二:设图象与x轴的两交点为A(x1,0),B(x2,0)(x1x2), 由题意得x1=-2-3=-5,x2=-2+3=1, 所以设二次函数解析式为y=a(x+5)(x-1).,将 代入上式解得a= 所以 答案:,4.已知函数f(x)=ax2+bx+c(a0,bR,cR).若函数 f(x)的最小值是f(-1)=0,且c=1,F(x)= 则F(2)+F(-2)=_.,【解析】由已知c=1,a-b+c=0,且 =-1, 解得a=1,b=2,所以f(x)=(x+1)2. 所以F(x)= 所以F(2)+F(-2)=(2+1)2+-(-2+1)2=8. 答案:8,考向三 二次函数的图象和性质 【考情快递】,【考题例析】 命题方向1:二次函数图象的识别 【典例3】(2016宜春模拟)已知函数y=ax2+bx+c,如果abc,且a+b+c=0,则它的图象是 ( ),【解题导引】先依据条件判断a0,且cbc,且a+b+c=0,得a0,且c0,所以f(0)=c0,所以函数y=ax2+bx+c的图象开口向上,与y轴的交点在y轴的负半轴上.,命题方向2:二次函数的最值问题 【典例4】(2016广州

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