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大高考2018版高考数学一轮总复习第3章导数及其应用第二节导数的应用课件理

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  • 卖家[上传人]:san****019
  • 文档编号:86344173
  • 上传时间:2019-03-18
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    • 1、第二节 导数的应用,知识点一 导数与函数的单调性、极值,1.函数的单调性与导数,在某个区间(a,b)内,如果f(x) 0,那么函数yf(x)在这个区间内单调递增;如果f(x) 0,那么函数yf(x)在这个区间内单调递减.,2.函数极值的概念,(1)判断f(x0)是极值的方法 一般地,当函数f(x)在点x0处连续时, 如果在x0附近的左侧 ,右侧 ,那么f(x0)是极大值; 如果在x0附近的左侧 ,右侧 ,那么f(x0)是极小值.,f(x)0,f(x)0,f(x)0,f(x)0,(2)求可导函数极值的步骤 求f(x); 求方程 的根; 检查f(x)的方程 的根的左右两侧导数值的符号.如果左正右负,那么f(x)在这个根处取得 ;如果左负右正,那么f(x)在这个根处取得 . (3)极大值点、极小值点统称为极值点,极大值、极小值统称为极值.,f(x)0,f(x)0,极大值,极小值,利用导数解决单调性问题.,(1)求函数的单调区间函数f(x)x22ln x的单调递减区间为_.,答案 (0,1),(2)利用单调性求参数的取值范围函数f(x)x3ax在1,)上是增函数,则实数a的取值范围为_.,解析

      2、 f(x)3x2a,则3x2a0在1,)上恒成立,即a3x2在1,)上恒成立,所以a3,且a3时,f(x)不恒为0.,答案 3,),有关极值的两个易混点:极值点;取极值条件.,(3)极值点是f(x)取得极值时的x值函数f(x)x33x2的极小值点是_. 解析 f(x)3x26x3x(x2),由f(x)0得x0或x2,当0x2时f(x)0,当x2时,f(x)0,所以x2是f(x)极小值点. 答案 2,(4)f(x0)0是函数f(x)在xx0处有极值的必要不充分条件若函数f(x)x2aln x在x1时取得极值,则a_.,答案 2,知识点二 导数与函数的最值及在实际生活中的应用,1.函数的最值,(1)在闭区间a,b上连续的函数f(x)在a,b上必有最大值与 . (2)若函数f(x)在a,b上单调递增,则f(a)为函数的最小值,f(b)为函数的 ;若函数f(x)在a,b上单调递减,则f(a)为函数的最大值,f(b)为函数的最小值. (3)设函数f(x)在a,b上连续,在(a,b)内可导,求f(x)在a,b上的最大值和最小值的步骤如下: 求f(x)在(a,b)内的极值; 将f(x)的各极值与 比

      3、较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.,最小值,最大值,f(a),f(b),2.解决优化问题的基本思路,利用导数求函数最值.,(5)若为闭区间,可直接比较函数值,若为闭区间注意,利用函数单调性求解函数f(x)x312x8在0,3上的最小值为_. 解析 f(x)3x212,由f(x)0得x2, 又f(0)8,f(2)8,f(3)1,所以f(x)最小值为8. 答案 8,突破利用导数研究函数单调性的方法,利用导数求函数单调区间的步骤,(1)求函数f(x)的定义域; (2)求导函数f(x); (3)在定义域内解不等式f(x)0和f(x)0;若不等式中带有参数时,可对参数进行分类讨论; (4)确定函数f(x)的单调区间.,由函数的单调性求参数的取值范围的方法,(1)可导函数在某一区间上单调,实际上就是在该区间上f(x)0(或f(x)0)(f(x)在该区间的任意子区间内都不恒等于0)恒成立,然后分离参数,转化为求函数的最值问题,从而获得参数的取值范围; (2)可导函数在某一区间上存在单调区间,实际上就是f(x)0(或f(x)0)在该区间上存在解集,这样就把函数的单调性问题转化成了不等式问

      4、题; (3)若已知f(x)在区间I上的单调性,区间I中含有参数时,可先求出f(x)的单调区间,令I是其单调区间的子集,从而可求出参数的取值范围.,【例1】 已知函数f(x)exax1.,(1)求f(x)的单调增区间; (2)是否存在a,使f(x)在(2,3)上为减函数,若存在,求出a的取值范围,若不存在,请说明理由.,解 f(x)exa,(1)若a0,则f(x)exa0, 即f(x)在R上单调递增,若a0,exa0,exa,xln a. 因此当a0时,f(x)的单调增区间为R, 当a0时,f(x)的单调增区间是ln a,). (2)f(x)exa0在(2,3)上恒成立. aex在x(2,3)上恒成立. 又2x3,e2exe3,只需ae3. 当ae3时,f(x)exe3在x(2,3)上, f(x)0,即f(x)在(2,3)上为减函数,ae3. 故存在实数ae3,使f(x)在(2,3)上为减函数.,点评 (1)利用导数的符号来判断函数的单调性; (2)已知函数的单调性求函数范围可以转化为不等式恒成立问题; (3)f(x)为增函数的充要条件是对任意的x(a,b)都有f(x)0且在(a,b)内

      5、的任一非空子区间上f(x)0.应注意此时式子中的等号不能省略,否则漏解.,导数与极值(最值)的求解方略,求函数f(x)极值的步骤,(1)确定函数的定义域; (2)求导数f(x); (3)解方程f(x)0,求出函数定义域内的所有根; (4)列表检验f(x)在f(x)0的根x0左右两侧值的符号,如果左正右负,那么f(x)在x0处取极大值,如果左负右正,那么f(x)在x0处取极小值.若遇极值点含参数不能比较大小时,则需分类讨论.,求函数f(x)在区间a,b上的最值的方法,(1)若函数在区间a,b上单调递增或递减,f(a)与f(b)一个为最大值,一个为最小值; (2)若函数在闭区间a,b内有极值,要先求出a,b上的极值,与f(a),f(b)比较,最大的是最大值,最小的是最小值,可列表完成.,(1)求f(x)在区间(,1)上的极小值和极大值点; (2)求f(x)在1,e(e为自然对数的底数)上的最大值.,点评 求极值、最值时,要求步骤规范、表格齐全;含参数时,要讨论参数的大小. 求函数单调区间与函数极值时要养成列表的习惯,可使问题直观且有条理,减少失分的可能.,利用导数求解不等式恒成立问题突破方

      6、略,利用导数证明不等式的方法,(1)证明f(x)g(x),x(a,b),可以构造函数F(x)f(x)g(x),如果F(x)0,则F(x)在(a,b)上是增函数,同时若F(a)0,由增函数的定义可知,x(a,b)时,有F(x)0,即证明了f(x)g(x).,利用导数研究不等式问题的关键是函数的单调性和最值,各类不等式与函数最值关系如下:,注:上述的大于、小于改为不小于、不大于,相应的与最值对应关系的不等式也改变.如果函数没有最值,则上述结果可以用函数值域相应的端点值表述.,【例3】 设函数f(x)xax2bln x,曲线yf(x)过P(1,0),且在P点处的切线斜率为2.,(1)求a,b的值; (2)证明:f(x)2x2.,当00; 当x1时,g(x)0时,g(x)0,即f(x)2x2.,点评 1.运用导数证明不等式f(x)g(x)成立的一般步骤: 第一步:构造h(x)f(x)g(x); 第二步:求h(x); 第三步:判断h(x)的单调性; 第四步:确定h(x)的最小值; 第五步:证明h(x)min0成立; 第六步:得出所证结论.,2.利用导数知识证明不等式是导数应用的一个重要方面,也是高考的一个新热点,其关键是构造适当的函数,判断区间端点对应的函数值与0的关系,实际就是利用求导的方法去研究函数的单调性,并通过单调性证明不等式.,导数与函数的综合问题,利用导数研究方程的根,函数的零点和图象交点问题,是高考题的典型题型,该类问题一般可通过导数研究函数的单调性、极值、变化趋势等,根据题目要求,画出函数图象的走势规律,然后分析观察,列出相应不等式(或方程)求解,要注意转化与化归,函数与方程,数形结合,分类讨论思想的应用.,(1)求f(x)的单调区间与极值; (2)若函数f(x)的图象与函数g(x)的图象在区间(0,e2上有公共点,求实数a的取值范围.,答题模板 第一步:确定函数定义域并求其导数f(x). 第二步:求函数f(x)单调区间. 第三步:由f(x)单调区间确定f(x)极值. 第四步:构造新函数F(x)并求其导数F(x). 第五步:求新函数F(x)的单调性. 第六步:利用单调性求 F(x)最值, 确定函数F(x)的零点, 即f(x)与g(x)图象交点个数. 第七步:明确规范地表述结论. 第八步:反思回顾,查看关键点,易错点及规范解答.,

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