[高一数学]课标人教a版必修3全套课件第一章算法案例
48页1、人教A版高中数学必修3 多媒体课件,多思、创新、融合,复习回顾,基本结构,流程图,顺序结构,变量与赋值,循环结构,基本语句,循环语句,条件语句,WHILE语句,UNTIL语句,IF-THEN语句,语句适用结构,算法,条件结构,我们这节课就利用基本的算法程序来解决一些实际问题,进一步体会算法的程序思想。,案例1.辗转相除法与更相减损术,在初中,我们已经学过求最大公约数的知识,你能求出18与30的最大公约数吗?,所以,18和30的最大公约数是:236,但是,当我们处理较大数(如:8251与6105)的最大公因数时,如果利用这种方法可能计算量比较大,步骤比较多。下面我们介绍一种古老而有效的算法辗转相除法,这种算法是欧几里得公元前300年左右首先提出的,因此又叫欧几里得算法,例1 求两个正数8251和6105的最大公约数。,分析:8251与6105两数都比较大,而且没有明显的公约数,如能把它们都变小一点,根据已有的知识即可求出最大公约数,解,8251610512146,显然8251和6105的最大公约数也必是2146的约数,同样6105与2146的公约数也必是8251的约数,所以8251与61
2、05的最大公约数也是6105与2146的最大公约数,继续下去,我们得到:,欧几里得(公元前330-公元前275):古希腊数学家,雅典人 欧几里得是柏拉图的学生,长期在亚历山大里亚教书。 公元前300年左右,代表作几何原本13卷问世,创立了著名的欧氏几何,至今仍为中学生必学的一门基础知识。欧几里得对光学也有一定研究。,6105214621813 214618131333 18133335148 333148237 1483740 则37为8251与6105的最大公约数,这就是辗转相除法,有除法的性质可以知道,对于任意两个正整数,上述除法步骤总可以在有限步骤之后完成,你能写出它的算法程序吗?,利用辗转相除法求最大公约数的步骤如下:,第一步:用较大的数m除以较小的数n得到一个商q0和一个余数r0;,第二步:若r00,则n为m,n的最大公约数;若r00,则用除数n除以余数r0得到一个商q1和一个余数r1;,第三步:若r10,则r1为m,n的最大公约数;若r10,则用除数r0除以余数r1得到一个商q2和一个余数r2,第n步:依次计算直至rn0,此时所得到的rn1即为所求的最大公约数,程序图框,带
3、余除法,INPUT “请输入m,n的值”;m,n IF mn THEN a=m m=n n=a END IF DO r=m MOD N m=n n=r LOOP UNTIL r=0 PRINT m END,作用是什么?,为什么要用直到型循环结构?,练一练,1.利用辗转相除法求两数4081与20723的最大公约数 ,写出它的流程框图和BASIC程序,更相减损术,我国早期也有解决求最大公约数问题的算法,九章算术(公元50年100年或更早 )是中国古代数学专著,承先秦数学发展的源流,进入汉朝后又经许多学者的删补才最后成书,这大约是公元一世纪的下半叶。它的出现,标志着中国古代数学体系的形成。,历代数学家把它尊为“算经之首”这是世界上最早的印刷本数学书。 九章算术共收有 246个数学问题,分为九章。分别是:方田、栗米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股。 九章算术是世界上最早系统叙述了分数运算的著作;其中盈不足的算法更是一项令人惊奇的创造;“方程”章还在世界数学史上首次阐述了负数及其加减运算法则。,更相减损术求最大公约数的步骤如下:可半者半之,不可半者,副置分母、子之数,以少减多,更相减
4、损,求其等也,以等数约之。,翻译出来为:,第一步:任意给出两个正数;判断它们是否都是偶数。若是,用2约简;若不是,执行第二步。,第二步:以较大的数减去较小的数,接着把较小的数与所得的差比较,并以大数减小数。,第三部:继续第二步,直到所得的数相等为止,则这个数(等数)就是所求的最大公约数,例2 用更相减损术求98与63的最大公约数.,解 由于63不是偶数,把98和63以大数减小数,并辗转相减,98-6335 63-3528 35-287 28-714 14-77,所以,98与63的最大公约数是7,两种算法比较,你有什么发现?,比较辗转相除法与更相减损术的区别,(1)都是求最大公约数的方法,计算上辗转相除法以除法为主,更相减损术以减法为主,计算次数上辗转相除法计算次数相对较少,特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显。,(2)从结果体现形式来看,辗转相除法体现结果是以相除余数为0则得到,而更相减损术则以减数与差相等而得到,练习,思考一.用辗转相除法求下列各组数的最大公约数,并在自己编写的BASIC程序中验证。 (1)225,135 (2)98,196 (3)72,168,思考二:用
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