高等代数知识点复习总结研究生入学考试数学知识点复习
40页1、计算,2,基本概念: 次数:最基本的概念和工具 整除:多项式之间最基本的关系 带余除法:最基本的算法,判断整除. 最大公因式:描述多项式之间关系的复杂程度 互素:多项式之间关系最简单的情形 既约多项式:最基本的多项式 根:最重要的概念和工具,一元多项式,3,重要结论: 带余除法定理 对于任意多项式f(x)和非零多项式g(x),有唯一的q(x)和r(x)使得 f(x)=g(x)q(x)+r(x),r(x)=0或degr(x)degg(x). 最大公因式的存在和表示定理 任意两个不全为0的多项式都有最大公因式,且对于任意的最大公因式d(x)都有u(x)和v(x)使得 d(x)=f(x)u(x)+g(x)v(x) 互素 f(x)和g(x)互素有u(x)和v(x)使得 f(x)u(x)+g(x)v(x)=1.,4,因式分解唯一定理 次数大于1的多项式都可分解成有限个既约多项式之积,且不计因子次序和常数因子倍时,分解唯一.,标准分解定理 每个次数大于1的多项式f都有如下的标准分解 其中a是非零常数, p1,pt, 是互不相同的首一既约多项式, n1,nt是正整数. 进一步,a, p1,pt,n1
2、,nt由f唯一确定.,重因式 f无重因式当且仅当f与其导式互素.,5,代数学基本定理: 下列陈述等价, 复数域上次数1的多项式总有根 复数域上的n次多项式恰有n个根 复数域上的既约多项式恰为一次式 复数域上次数1的多项式可分解成一次式之积. 实数域上的次数1的既约多项式只有无实根的二次式 实数域上次数1的多项式可分解成一次式和二次式之积,6,实数域上的标准分解定理 在实数域上,每个次数大于1的多项式f都有如下的标准分解 其中a是f的常数项, x1,xt 是f全不互不相同的根, p1,pt是互异、首一、无实根的二次式.,复数域上的标准分解定理 在复数域上,每个次数大于1的多项式f都有如下的标准分解 其中a是f的常数项, x1,xt 是f全部互不相同的根, n1,nt分别是这些根的重数.,7,多项式作为函数: 两个多项式相等(即对应系数相同) 它们作为函数相等(即在每点的函数值相等) 它们在k+1个点的函数值相等,这里k是它们次数的最大者. 设f(x)anxn+.+a1x+a0,若f(x)在n+1个点的函数值为0,则f(x)恒等于0.,8,Eisenstein判别法: 设 是整系数多项式,
3、若有素数p使得 则f(x)是有理数域上的既约多项式. 有理根:有理根的分母整除首项系数,分子整除常数项,9,重要结论 命题1.8.1 若多项式的值全为0,则该多项式必为0. 命题1.8.2 每个n次多项式f均可唯一地表示成齐次多项式之和 ,fn0,且其中fi是0或i次齐次多项式,0in,fi称为f的i次齐次分量.,基本概念: 次数、齐次分量、字典序、首项、对称多项式,多元多项式,对称多项式基本定理 每个对称多项式,都可唯一地表示成初等对称多项式的多项式,.,10,11,运算及其关系,12,13,14,;,15,Laplace定理 (按第i1,.,ik行展开),;,分块三角形行列式,16,Cauchy-Binet公式 设U是mn矩阵, V是nm矩阵, mn, 则,17,18,对单位矩阵做一次初等变换,对A做一次行变换 = 用相应的初等矩阵左乘以A 对A做一次列变换 = 用相应的初等矩阵右乘以A,19,对于mn矩阵A,B下列条件等价 AB,即A可由初等变换化成B 有可逆矩阵P,Q使得PAQ=B 秩A=秩B A,B的标准型相同,A,B行等价有可逆矩阵P使得A=PB 每个矩阵都行等价于唯一一个
4、RREF矩阵,A,B等价有可逆矩阵P,Q使得A=PBQ 每个秩数为r的矩阵都等价于,矩阵等价,20,可逆矩阵vs列满秩矩阵,对于n阶矩阵A,下列条件等价 A是可逆矩阵 |A|0 秩A=n 有B使得AB=I或BA=I A是有限个初等矩阵之积 A(行或列)等价于I A的列(行)向量组线性无关 方程组Ax=0没有非零解 对任意b,Ax=b总有解 对某个b,Ax=b有唯一解 A是可消去的(即由AB=AC或BA=CA恒可得B=C) 对于mr矩阵G,下列条件等价 G是列满秩矩阵, G有一个r阶的非零子式 秩G=列数 G有左逆,即有K使得KG=I 有矩阵H使得(G, H)可逆 G行等价于 G的列向量组线性无关 方程组Gx=0没有非零解 对任意b,若Gx=b有解则唯一 对某个b,Gx=b有唯一解 G是左可消去的(即由GB=GC恒可得B=C),21,设A的秩数为r, 则A有如下分解 ,其中P,Q为可逆矩阵 A=PE,其中P可逆,E是秩数为r的RREF A=GH,其中G列满秩,H行满秩,且秩数都是r (满秩分解),矩阵分解,22,分块矩阵的初等变换和Schur公式 把初等变换和初等矩阵的思想用到分块矩阵
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