(浙江专用)2019高考数学二轮复习精准提分 第二篇 重点专题分层练,中高档题得高分 第24练 导数的综合应用试题
14页1、第24练导数的综合应用明晰考情1.命题角度:函数与方程、不等式的交汇是考查的热点,常以指数函数、对数函数为载体考查函数的零点(方程的根)、比较大小、不等式证明、不等式恒成立与能成立问题.2.题目难度:偏难考点一利用导数研究函数的零点(方程的根)方法技巧求解函数零点(方程根)的个数问题的基本思路:(1)转化为函数的图象与x轴(或直线yk)在该区间上的交点问题;(2)利用导数研究该函数在该区间上单调性、极值(最值)、端点值等性质,进而画出其图象;(3)结合图象求解1设函数f(x)x3ax2bxc.(1)求曲线yf(x)在点(0,f(0)处的切线方程;(2)设ab4,若函数f(x)有三个不同零点,求c的取值范围解(1)由f(x)x3ax2bxc,得f(x)3x22axb.f(0)c,f(0)b,曲线yf(x)在点(0,f(0)处的切线方程为ybxc.(2)当ab4时,f(x)x34x24xc,f(x)3x28x4.令f(x)0,得3x28x40,解得x2或x.当x变化时,f(x)与f(x)在区间(,)上的变化情况如下:x(,2)2f(x)00f(x)cc当c0且c0时,f(4)c160,存在
2、x1(4,2),x2,x3,使得f(x1)f(x2)f(x3)0.由f(x)的单调性知,当且仅当c时,函数f(x)x34x24xc有三个不同零点2已知函数f(x)2lnx(aR,a0)(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)若函数f(x)有最小值,记为g(a),关于a的方程g(a)a1m有三个不同的实数根,求实数m的取值范围解(1)f(x)(x0),当a0时,f(x)0时,f(x),则f(x)在(0,)上单调递减,在(,)上单调递增(2)由(1)知,a0,f(x)minf()1lna,即g(a)1lna,方程g(a)a1m,即malna(a0),令F(a)alna(a0),则F(a)1,知F(a)在和上单调递增,在上单调递减,F(a)极大值Fln3,F(a)极小值Fln2ln3.依题意得实数m的取值范围是.3已知aR,函数f(x)exax(e2.71828是自然对数的底数)(1)若函数f(x)在区间(e,1)上是减函数,求实数a的取值范围;(2)若函数F(x)f(x)(ex2ax2lnxa)在区间内无零点,求实数a的最大值解(1)由f(x)exax,得f(x)exa且f(x)在R上单调递
3、增若f(x)在区间(e,1)上是减函数,只需f(x)0在(e,1)上恒成立因此只需f(1)e1a0,解得a.又当a时,f(x)ex0,当且仅当x1时取等号所以实数a的取值范围是.(2)由已知得F(x)a(x1)2lnx,且F(1)0,则F(x)a,x0.当a0时,F(x)0.所以F(x)在内无零点当a0时,令F(x)0,得x.若,即a(0,4时,则F(x)在上是减函数又x0时,F(x).要使F(x)在内无零点,只需F2ln0,则0a4ln2.若4时,则F(x)在上是减函数,在上是增函数所以F(x)minF2a2ln,令(a)2a2ln,则(a)10.所以(a)在(4,)上是减函数,则(a)(4)2ln220.因此Fg(x)在区间D上恒成立的基本方法是构造函数h(x)f(x)g(x),然后根据函数的单调性或者函数的最值证明函数h(x)0.其中找到函数h(x)f(x)g(x)的零点是解题的突破口4设函数f(x)lnxx1.(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)证明:当x(1,)时,10),得f(x)1.令f(x)0,解得x1.当0x0,f(x)单调递增;当x1时,f(x)0,f(x)单调递
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