2019届高考数学一轮复习第26讲《空间中的垂直关系》教案

1、空间中的垂直关系教学目标以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定。通过直观感知、操作确认，归纳出以下判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直。 一个平面过另一个平面的垂线，则两个平面垂直。通过直观感知、操作确认，归纳出以下性质定理，并加以证明：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。能运用已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题。命题走向近年来，立体几何高考命题形式比较稳定，题目难易适中，常常立足于棱柱、棱锥和正方体，复习是要以多面体为依托，始终把直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的性质和判定作为考察重点。在难度上也始终以中等偏难为主，在新课标教材中将立体几何要求进行了降低，重点在对图形及几何体的认识上，实现平面到空间的转化，示知识深化和拓展的重点，因而在这部分知识点上命题，将是重中之重。预测2013年高考将以多面体为载体直接考察线面位置关系：（1）考题将会出现一个选择题、一个填空题和一个解答题；（2）在考题上的特点为：热点问题为平面的基本性质，考察线线、

2、线面和面面关系的论证，此类题目将以客观题和解答题的第一步为主。（3）解答题多采用一题多问的方式，这样既降低了起点又分散了难点。教学准备多媒体课件教学过程1线线垂直判断线线垂直的方法：所成的角是直角，两直线垂直；垂直于平行线中的一条，必垂直于另一条。三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那麽它也和这条斜线的射影垂直。推理模式： 。注意：三垂线指PA，PO，AO都垂直内的直线a其实质是：斜线和平面内一条直线垂直的判定和性质定理要考虑a的位置，并注意两定理交替使用。2线面垂直定义：如果一条直线l和一个平面相交，并且和平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l和平面互相垂直其中直线l叫做平面的垂线，平面叫做直线l的垂面,直线与平面的交点叫做垂足。直线l与平面垂直记作：l。直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。直线和平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行。3面面垂直两个平面垂直的定

3、义：相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平面。两平面垂直的判定定理：（线面垂直面面垂直）如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。两平面垂直的性质定理：（面面垂直线面垂直）若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面。典例解析题型1：线线垂直问题例1如图1所示，已知正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F、G、H、L、M、N分别为A1D1，A1B1，BC，CD，DA，DE，CL的中点，求证：EFGF。证明：如图2，作GQB1C1于Q，连接FQ，则GQ平面A1B1C1D1，且Q为B1C1的中点。ABCDEA1B1C1OF在正方形A1B1C1D1中，由E、F、Q分别为A1D1、A1B1、B1C1的中点可证明EFFQ，由三垂线定理得EFGF。点评：以垂直为背景，加强空间想象能力的考查，体现了立体几何从考查、论证思想。例2如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABBC，D、E分别为BB1、AC1的中点，证明：ED为异面直线BB1与AC1的公垂线。证明：设O为AC中点，连接EO，BO，则EOC1C，又C1CB1B，所以EODB，EOBD为平行四

4、边形，EDOB。ABBC，BOAC，又平面ABC平面ACC1A1，BO面ABC，故BO平面ACC1A1，ED平面ACC1A1，BDAC1，EDCC1，EDBB1，ED为异面直线AC1与BB1的公垂线。点评：该题考点多，具有一定深度，但入手不难，逐渐加深，逻辑推理增强。题型2：线面垂直问题例3（1）如图，ABCDA1B1C1D1是正四棱柱，求证：BD平面ACC1A1。（2）如图，在五面体ABCDEF中，点O是矩形ABCD的对角线的交点，面CDE是等边三角形，棱。（I）证明平面；（II）设证明平面。证明：（1）ABCDA1B1C1D1是正四棱柱，CC1平面ADCD, BDCC1ABCD是正方形BDAC又AC，CC1平面ACC1A1,且ACCC1=C, BD平面ACC1A1。（2）证明：（I）取CD中点M，连结OM。在矩形ABCD中，又则连结EM，于是四边形EFOM为平行四边形。又平面CDE，且平面CDE，平面CDE。（II）连结FM。由（I）和已知条件，在等边中，且因此平行四边形EFOM为菱形，从而。平面EOM，从而而所以平面点评：本题考查直线与平面垂直等基础知识，考查空间想象能力和推理论

5、证能力。例4如图，直三棱柱ABCA1B1C1 中，AC BC 1，ACB 90，AA1 ，D 是A1B1 中点（1）求证C1D 平面A1B ；（2）当点F 在BB1 上什么位置时，会使得AB1 平面C1DF ？并证明你的结论。分析：（1）由于C1D 所在平面A1B1C1 垂直平面A1B ，只要证明C1D 垂直交线A1B1 ，由直线与平面垂直判定定理可得C1D 平面A1B。（2）由（1）得C1D AB1 ，只要过D 作AB1 的垂线，它与BB1 的交点即为所求的F 点位置。（1）证明：如图， ABCA1B1C1 是直三棱柱， A1C1 B1C1 1，且A1C1B1 90。又 D 是A1B1 的中点， C1D A1B1 。 AA1 平面A1B1C1 ，C1D 平面A1B1C1 ， AA1 C1D ， C1D 平面AA1B1B。（2）解：作DE AB1 交AB1 于E ，延长DE 交BB1 于F ，连结C1F ，则AB1 平面C1DF ，点F 即为所求。事实上， C1D 平面AA1BB ，AB1 平面AA1B1B ， C1D AB1 又AB1 DF ，DF C1D D ， AB1 平面C1D

6、F 。点评：本题（1）的证明中，证得C1D A1B1 后，由ABCA1B1C1 是直三棱柱知平面C1A1B1 平面AA1B1B ，立得C1D 平面AA1B1B。（2）是开放性探索问题，注意采用逆向思维的方法分析问题。题型3：面面垂直问题例5如图，ABC 为正三角形，EC 平面ABC ，BD CE ，CE CA 2 BD ，M 是EA 的中点，求证：（1）DE DA ；（2）平面BDM 平面ECA ；（3）平面DEA 平面ECA。分析：（1）证明DE DA ，可以通过图形分割，证明DEF DBA。（2）证明面面垂直的关键在于寻找平面内一直线垂直于另一平面。由（1）知DM EA ，取AC 中点N ，连结MN 、NB ，易得四边形MNBD 是矩形。从而证明DM 平面ECA。证明：（1）如图，取EC 中点F ，连结DF。 EC 平面ABC ，BD CE ，得DB 平面ABC 。 DB AB ，EC BC。 BD CE ，BD CE FC ，则四边形FCBD 是矩形，DF EC。又BA BC DF ， RtDEF RtABD ，所以DE DA。（2）取AC 中点N ，连结MN 、NB ， M 是

7、EA 的中点， MN EC。由BD EC ，且BD 平面ABC ，可得四边形MNBD 是矩形，于是DM MN。 DE DA ，M 是EA 的中点， DM EA 又EA MN M ， DM 平面ECA ，而DM 平面BDM ，则平面ECA 平面BDM。（3） DM 平面ECA ，DM 平面DEA ， 平面DEA 平面ECA。点评：面面垂直的问题常常转化为线面垂直、线线垂直的问题解决。例6如图所示，正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面边长为2，侧棱长为4.E，F分别为棱AB，BC的中点，EFBD=G。（）求证：平面B1EF平面BDD1B1；（）求点D1到平面B1EF的距离d；（）求三棱锥B1EFD1的体积V。（）证法一：连接AC。正四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是正方形。ACBD，又ACD1D，故AC平面BDD1B1E，F分别为AB，BC的中点，故EFAC，EF平面BDD1B1平面B1EF平面BDD1B1。证法二：BE=BF，EBD=FBD=45，EFBD.平面B1EF平面BDD1B1。（）解：在对角面BDD1B1中，作D1HB1G，垂足为H平面B1EF平面BDD1B1，且平面B

8、1EF平面BDD1B1=B1G，D1H平面B1EF，且垂足为H，点D1到平面B1EF的距离d=D1H。解法一：在RtD1HB1中，D1H=D1B1sinD1B1H，D1B1=A1B1=4，sinD1B1H=sinB1GB=，d=D1H=4图解法二：D1HBB1BG，d=D1H=。解法三：如图所示，连接D1G，则三角形D1GB1的面积等于正方形DBB1D1面积的一半.即B1GD1H=BB12。d=。（）d.点评：本题比较全面地考查了空间点、线、面的位置关系.要求对图形必须具备一定的洞察力。并进行一定的逻辑推理，在研究本题时，要注意摘出平面图形，便于计算。题型4：射影问题例7（1）如图，正方形所在平面，过作与垂直的平面分别交、于、K、，求证：、分别是点在直线和上的射影证明： 面， ， 为正方形， ， 与相交， 面，面， 由已知面，且面， ， ，面，面， ，即 为点在直线上的射影，同理可证得为点在直线上的射影。点评：直线与平面垂直的判定定理和性质定理是解决两条直线的主要途径之一，另外，三垂线定理及逆定理、两条直线所成的角等也是证明两条直线垂直的常用的方法。（2）如图，在棱长为1的正方体中，是侧棱上的一点，。（）试确定，使直线与平面所成角的正切值为；（）在线段上是否存在一个定点Q，使得对任意的，D1Q在平面上的射影垂直于，并证明你的结论。解法1：（）连AC，设AC与BD相交于点O,AP与平面相交于点，连结OG，因为PC平面，平面平面APCOG，故OGPC，所以OGPC。又AOBD,AOBB1，所以AO平面，故AGO是AP与平面所成的角。在RtAOG中，tanAGO，即m。所以，当m时，直线AP与平面所成的角的正切值为。（）可以推测，点Q应当是AICI的中点O1，因为D1O1A1C1, 且 D1O1A1A ，所以 D1O1平面ACC1A1，又AP平面ACC1A1，故 D1O1AP。那么根据三垂线定理知，D1O1在平面APD1的射影与AP垂直。点评：本小题主要考查线面关系、直线于平面所成的角的有关知识及空间想象能力

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