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2017届高北京市西城区161中学三上学期期中考试数学（理）试题（解析版）

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常见问题

1、北京一六一中学2017届高三年级第一学期期中考试理科数学试题一、选择题共8小题，每小题5分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1已知全集，集合，则（）ABCD【答案】A【解析】，选择2极坐标方程和参数方程（为参数）所表示的图形分别是（）A直线、直线B圆、圆C直线、圆D圆、直线【答案】D【解析】，是极坐标方程表示的曲线即，表示圆，参数方程表示的是，表示一条直线选3设，则（）ABCD【答案】A【解析】，选择4若非零平面向量，满足，则（）ABCD【答案】D【解析】，均为非零向量，综上所述，答案为5在如图所示的空间直角坐标系中，一个四面体的顶点坐标分别是，给出编号、的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（）A和B和C和D和【答案】D【解析】在坐标中，标出已知点，可知选择和，选择6如图，小明从街道的处出发，先到处与小红会合，在一起到位于处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（）ABCD【答案】B【解析】从到，东西向街道被分为段，每条南北向也分为段，无论怎么走，一定包括段，其中段相同，另段相同，共有种同理到最短有种，共有种，选择

2、7设抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线相交于，两点，与抛物线的准线相交于，则与的面积之比（）ABCD【答案】A【解析】如图所示过，分别作准线的垂线，垂足分别为，，又，根据抛物线定义知，由知，直线将代入上式，可得，选择8经济学家在研究供求关系时，一般用纵轴表示产品价格（自变量），而用横轴来表示产品数量（因变量）某类产品的市场供求关系在不受外界因素（如政府限制最高价格等）的影响下，市场会自发调解供求关系：当产品价格低于均衡价格时，供求量大于供应量，价格会上升为；当产品价格高于均衡价格时，供应量大于需求量，价格又会下降，价格如此波动下去，产品价格将会逐渐靠近均衡价格能正确表示上述供求关系的图形是（）ABCD【答案】D【解析】当低于时，需求大于供应量，排除，且价格较低时，供应增长较快，价格较高时，供应增长慢，故排除，选择二、填空题共6小题，每小题5分，共30分9已知圆与直线及都相切，圆心在直线上，则圆的方程为_【答案】【解析】圆心在上，设圆心坐标为与和都相切，解得，的方程为10的展开式中，的系数是_（用数字填写答案）【答案】【解析】通项公式，令，解得，系数为11双曲线的右焦点坐标为_，过

3、右焦点且平行于该双曲线渐近线的直线方程是_【答案】，或【解析】，右焦点，双曲线渐进方程为，过右焦点且与渐进线平行的直线方程为，即和12函数的图象如图所示，则_，_【答案】；【解析】由图可知，由函数图象经过，或，()，13已知若函数只有一个零点，则的取值范围是_【答案】【解析】由题可画出的图像，和只有一个交点经过定点，斜率为时，当时，14已知点，若曲线上存在两点，使为正三角形，则称为型曲线给定下列三条曲线：；其中，是型曲线的有_【答案】【解析】在之外，正确，是型曲线对于曲线，表示圆的第二象限的部分，显然不存在，故不是型曲线对于曲线，表示位于第四象限的一支双曲线，以为圆心做顶角为的圆弧，易知与之相交时，符合条件，是型曲线答案为三、解答题共6小题，共80分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤15（分）已知为锐角，且（I）求的值（）求的值【答案】【解析】（），（），又，又为锐角，16（分）某单位有车牌尾号为的汽车和尾号为的汽车，两车分属于两个独立业务部分对一段时间内两辆汽车的用车记录进行统计，在非限行日，车日出车频率，车日出车频率该地区汽车限行规定如下：车尾号和和和和和限行日星期一

4、星期二星期三星期四星期五现将汽车日出车频率理解为日出车概率，且，两车出车相互独立（I）求该单位在星期一恰好出车一台的概率（II）设表示该单位在星期一与星期二两天的出车台数之和，求的分布列及其数学期望【答案】【解析】（）设车在星期出车的事件为，车在星期出车的事件为，由图可知，设该单位在星期一恰好出车一台的事件为，则（）的取值为，则，的分布列为17（分）如图，在三棱柱中，底面，是棱上一点（I）求证：（II）若，分别是，的中点，求证：平面（III）若二面角的大小为，求线段的长【答案】【解析】（I）面，面，中，面面，（II）连接交于点四边形是平行四边形，是的中点又，分别是，的中点，且，四边形是平行四边形，可得面，面，面（III），且平面，以为原点，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系设，可得：，设平面的法向量，故，则有，取，则，平面的法向量二面角的大小为，18（分）设函数（I）若，求函数的单调区间（II）若函数在区间上是减函数，求实数的取值范围（III）过坐标原点作曲线的切线，求切线的横坐标【答案】【解析】（I）时，当，为单调减函数当，为单调增函数的单调减区间为，的单调增区间为（II），在区间上

5、是减函数，对任意恒成立即对任意恒成立令，易知在上单调递减，（III）不妨设点为，切线方程为，即又切线过原点，即，设，则恒成立，在上单调递增，又，在上只有一个零点，切点的横坐标恒为19（分）如图，已知椭圆的离心率为，过左焦点且斜率为的直线交椭圆于，两点，线段的中点为，直线交椭圆于，两点（I）求椭圆的方程（II）求证：点在直线上（III）是否存在实数，使得的面积是面积的倍？若存在，求出的值若不存在，说明理由【答案】【解析】（I）由题意可知，的方程为（II）设，联立，可得：，点坐标为，在直线上（III）由（）可知到的距离等于到的距离若，则，为的中点，设点坐标，则，联立，解得，解得，20（分）在无穷数列中，对于任意，都有，设，记使得成立的的最大值为（I）设数列为，写出，的值（II）若为等差数列，求出所有可能的数列（III）设，求的值（用，表示）【答案】【解析】（I），则，则，则；，（II）有题可得，可得又使得成立的的最大值为，使得成立的的最大值为，设，则若，则则当时，；当时，为等差数列，公差，这与矛盾，又，由为等差数列，得使得成立的的最大值为，又，（III）设，且，数列中等于的项共有个，即个，设，则，且，数列等于的项有个，即个，以此类推：数列中等于的项共有个即：

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