随机积分与ito定理
62页1、第八章 随机积分 Ito积分,第一节 引 言,第二节 Ito积分的理论,第三节 Ito积分的特征,第四节 Ito定理及应用,第五节 更复杂情况下的Ito公式,第一节 引 言,一、 Ito积分的导出,在物理现象中是用微分方程来描述其模型,而建立微分方程是从导数定义出发。并可根据微分与积分的关系,建立相应的积分方程。,但在随机环境中,由于不可预测的“消息”不断出现,并且表示现象动态性的等式是这些噪音的函数,这就无法定义一个有效的导数,建立一个微分方程。然而,在某些条件下可以定义一个积分 Ito积分,建立积分方程。,首页,前面讨论的随机微分等式,其中的项 都只是近似讨论,而没给出精确的解释。但如果给出Ito积分的定义,反过来才能更确切地讨论。,即若用微分方程,代表资产价格 的动态行为,,那么能否对两边取积分,即,也就是说,是否等式右边第二项的积分有意义?,为解释此项积分的含义,需引进Ito积分,首页,也就是说,一旦定义Ito积分,则上积分等式才有意义,即有,其中h为一定的时间间隔。,若,则上等式改写为,即,或,这正是在固定间隔下的随机微分方程表示式,首页,此表示式为一近似式,其精确公式为,二
2、、Ito积分的重要性,首先,随机微分方程只能根据Ito积分方程来定义,要理解随机微分方程的真正含义,必须首先理解Ito积分。,其次,在实际运用当中,经常先用固定的时间间隔,得出随机微分方程的近似值,然后再通过Ito积分就可以给出近似值的精确形式。,返回,首页,第二节 Ito积分的理论,Ito积分是用来定义随时间的变化无法统计和不可预测的随机增量的总和。,布朗运动,如果,标准布朗运动,一、Ito积分的定义,首页,定义1,满足,作和式,如果均方极限,存在,则称,记为,首页,注意,在定义中不能按通常的黎曼积分那样作和式,原因是,即,所以这里取固定的左端点。,定理1,首页,定理2,则,证,令,则,首页,因为,0,首页,例1,解,试求,故,首页,注,表明Ito随机积分不同于黎曼积分,二、Ito积分的性质,性质1,则,(1),(2),证明,与黎曼积分相仿(略),首页,性质2,则,证明,略,首页,性质3,则,存在且关于t是均方连续的。,证明,首页,三、Ito微分法则,则第二个积分作为Ito积分存在,且,(1),这时,称(1)式定义的随机过程 有(Ito)随机微分,并记为,首页,例2,求随机微分,解,
3、由例可知,即,由随机微分的定义,首页,定理3,Ito公式,的二次微分函数,,则,且,首页,例3,求随机微分,解,设,因为,所以由Ito公式得,首页,定理4,都是连续函数,如果随机过程 有随机微分,则,首页,注,是复合函数链式微分法则在随机微分中的表现,称为Ito公式,首页,四、Ito随机微分方程,则在Ito积分和微分的基础上建立的随机微分方程,称为Ito随机微分方程,与Ito随机微分方程等价的Ito随机积分方程,其中右边第一个积分是均值积分,第二个积分是Ito积分,首页,例4,考虑Ito方程,取,由Ito公式得,即,所以,即,注,将 看作普通函数,则解为,返回,首页,第三节 Ito积分的特征,资产价格理论意义下Ito积分,其中 在信息集 下是非预期的,一、Ito积分是鞅,在间隔 内影响资产价格不可预测的干扰总和可表示为,则此Ito积分就是鞅。,因为,首页,给定时间t的信息集 ,如果每个增量是不可预测的,则这些增量的总和也是不可预测的,即,于是,故Ito积分 是鞅。,首页,下面考虑两种有意思的情况:,1第一种情况,假设,此时Ito积分就等同于Riemann积分,即有,则,即积分是鞅,首页
4、,因为,维纳过程的增量具有0均值且是非相关的,,故此积分是鞅,注,当 是常数时,Riemann和Ito积分是相同的且都是鞅,首页,2第二种情况,若,此时Ito积分就不同于Riemann积分。Ito积分将保持鞅特性,而Riemman将不再具有鞅特性。,例如,如果衍生产品的标的资产具有几何分布,其方差,则可表明Ito积分就不同于Riemann积分。,用Riemann求和来大致估计Ito积分会导致自相矛盾,,方法,具体过程如下例:,首页,3一个例子,其中偏移量和方差率分别为,假设资产价格满足随机微分方程,即两个参数都比例于资产价格,考虑一个小时间间隔 ,对随机微分方程积分,现在用Rieman求和来讨论上式右边的第二项积分的近似计算,看会有什么结果?,首页,Rieman求和的一种近似计算是用子间隔的中点处的维纳过程测值来计算。,首先计算,然后再乘以矩形的底,得,从而有,两项相关,下面考虑上随机微分方程的简单形式,则其新增项形式为,首页,用Riemann求和来大致估计这样一个积分,根据底和高为矩形的面积可得,由于期望,这意味着上式右边的条件期望不为0,即是可预测的,,首页,从而可知,用Riema
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