同济大学线性代数课件ch5全
68页1、第一节 向量的内积,一 内积的定义和性质,三 正交向量组,二 向量的长度与夹角,四 正交矩阵与正交变换,第六章 相似矩阵和二次型,一、内积的定义与性质,1、定义,设维实向量,称实数,为向量与的内积,记作,注:内积是向量的一种运算,用矩阵形式表示,有,、性质,(1)对称性:,(2)线性性:,(3)正定性:,、长度的概念,当,时,二、向量的长度与夹角,令,为维向量,的长度(模或范数).,特别,长度为的向量称为单位向量.,(1)正定性:,(2)齐次性:,(3)三角不等式:,、性质,(4)柯西施瓦兹(CauchySchwarz)不等式:,当且仅当与的线性相关时,等号成立.,由非零向量得到单位向量,称为把单位化或标准化.,的过程,、夹角,设与为维空间的两个非零向量,与的夹,角的余弦为,因此与的夹角为,例,解,三、正交向量组,1、正交,2、正交组,若向量组中的向量两两正交,且均为非零向量,则,这个向量组称为正交向量组,简称正交组.,3、标准正交组,由单位向量组成的正交组称为标准正交组.,夹角900,4、正交基,5、标准正交基,由正交向量组构成的空间V的基,由标准正交向量组构成的空间V的基,定理,4
2、、性质,正交向量组必为线性无关组.,证明见P112,例题: 证明:r个n维向量构成的向量组,若rn则该向量组一定不是正交组,思路:r个n维向量组当rn时,必然线性相关,已知三维向量空间中,,例2,正交,,解,设,则,即,四、正交矩阵和正交变换,1、定义,如果阶方阵满足:,则称为正交矩阵.,则,可表示为,若按列分块表示为,亦即,结论:正交阵判定条件是列向量是标准正交组,即两两正交的单位向量。,2、正交矩阵判定条件,为方阵,且列向量组是标准正交组,三大条件:1)方阵 2)单位向量 3)正交(行列均可)EATAAAT,例题: 证明下述性质(定义法) 1)若A为正交阵,则A1和AT也是正交阵,且 det(aij)1或1 2)若A,B为正交阵,则AB也为正交阵,3.定义的应用,3、正交变换,若为正交矩阵,则=线性变换称为正交变换.,设=为正交变换,则有,经正交变换后向量的长度保持不变,内积保持不变,注,从而夹角保持不变.,请证明旋转变换是正交变换P32 问:投影变换是正交变换吗?,4、施密特(Schmidt)正交化法(P114,自学),设,是向量空间的一个基,要求向量空,间的一个标准正交基,就是
3、要找到一组两两正交的单,位向量,,使,与,等价,,此问题称为把,这组基标准正交化.,1)正交化,令,就得到的一个标准正交向量组.,的一组标准正交基.,如果,上述方法称为施密特(Schmidt)正交化法.,2)标准化,令,是的一组基,则,就是,与,都是等价的.,可以证明:,第二节 方阵的特征值与特征向量,一 特征值与特征向量,三 应用举例,二 特征值和特征向量的性质,四 小结,一、特征值与特征向量的概念,定义,若,则称为的特征值,,称为的特征向量,(),注, 并不一定唯一;, 阶方阵的特征值,就是使齐次线性方程组, 特征值问题只针对与方阵,且特征向量不能为零,有非零解的值,即满足,的都是方阵的特征值,例:求距阵的特征值和特征向量 (P118例6,7),定义,这是一个为变量的一元次多项式,为的特征多项式,定义,为的特征方程(几元几次方程?),定理,设阶方阵 的特征值为,则,证明,当 是的特征值时,的特征多项,式可分解为,令,得,即,必须牢记,(2)略,定义,方阵的主对角线上的元素之和称为方阵的迹.,记为,二、特征值的性质,推论,阶方阵可逆的个特征值全不为零.,若数为可逆阵的的特征值,,性质
4、5,设阶方阵 的特征值为,则,根据这两条性质,可以验证所求得的结果是否正确.,三、应用举例(定义+性质),、若为可逆阵的特征值,则,的一个特征值为( ),、证阶方阵的满足 ,则的特征值为,或,、三阶方阵的三个特征值为、,则,( ),(幂等阵AmA),2解:设x是A的一个特征向量,则A2xAx0 3解:思路令B2E3A2, 求出B的全部特征值即可。 书上例题9自己看看。P122,四、特征向量的性质,定理,互异特征值对应的特征向量线性无关。,证明:见书P120 另证:,特征向量的性质的证明,证,设存在 使,是方阵 的特征值,,依次是与之对应的特征向量,即有,因为,所以,即,即,(1),(2),(3),类推下去,有,(m),把以上 个等式合写成矩阵等式,得,上式左端的第二个矩阵的行列式是范德蒙德行 列式,,当 互不相等时, 该行列式 不等于0,从而该矩阵可逆. 于是有,特征向量的性质的证明,即,又,因此必有,所以 向量组线性无关.,证毕,特征向量的性质的证明,一、定义,定义,设、都是阶矩阵,若有可逆矩阵,,使得,则称是的相似矩阵,或者说矩阵,与相似,称为对进行相似变换,,对进行运算,可逆矩阵
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