现代控制理论-4.1g 线性连续系统的能控性

1、Ch.4 线性系统的能控性和能观性,本章简介(1/1),本 章 简 介 本章讨论线性系统的结构性分析问题。 主要介绍 动态系统的状态空间模型分析的两个基本结构性质-状态能控性和能观性,以及 这两个性质在状态空间模型的结构分解和线性变换中的应用, 并引入能控规范形和能观规范形, 以及实现问题与最小实现的概念。 本章最后介绍基于Matlab的控制系统的结构性分析问题的程序设计与计算。,目录(1/1),目 录 概述 4.1 线性连续系统的能控性 4.2 线性连续系统的能观性 4.3 线性定常离散系统的能控性和能观性 4.4 对偶性原理 4.5 线性系统的结构性分解和零极点相消 4.6 能控规范形和能观规范形 4.7 实现问题 4.8 Matlab问题 本章小结,概述(1/5),概 述 本章讨论线性定常系统的定性分析-结构性问题和系统综合问题,主要内容有: 结构性问题-能控性、能观性、对偶原理 结构分解 能控规范形和能观规范形 系统实现 系统综合问题-状态反馈和状态观测器,概述(2/5),动态系统的能控性和能观性是揭示动态系统不变的本质特征的两个重要的基本结构特性。 卡尔曼在60年代初首先提出

2、状态能控性和能观性。其后的发展表明,这两个概念对回答被控系统能否进行控制与综合等基本性问题,对于控制和状态估计问题的研究,有着极其重要的意义。 系统能控性指的是控制作用对被控系统的状态和输出进行控制的可能性。,概述(3/5),能观性反映由能直接测量的输入输出的量测值来确定反映系统内部动态特性的状态的可能性。,为什么经典控制理论没有涉及到这两个结构性问题?,概述(4/5),这是因为经典控制理论所讨论的是SISO系统输入输出的分析和综合问题,它的输入输出间的动态关系可以唯一地由传递函数所确定。 因此,给定输入,则一定会存在唯一的输出与之对应。 反之,对期望输出信号,总可找到相应的输入信号(即控制量)使系统输出按要求进行控制,不存在能否控制的问题。 此外,输出一般是可直接测量,不然,则应能间接测量。 否则,就无从对进行反馈控制和考核系统所达到的性能指标。 因此,在这里不存在输出能否测量(观测)的问题。 所以,无论是从理论还是实践,经典控制理论和技术一般不涉及到能否控制和能否观测的问题。,概述(5/5),现代控制理论中着眼于对表征MIMO系统内部特性和动态变化的状态进行分析、优化和控制。 状态

3、变量向量的维数一般比输入向量的维数高,这里存在多维状态能否由少维输入控制的问题。 此外,状态变量是表征系统动态变化的一组内部变量,有时并不能直接测量或间接测量,故存在能否利用可测量或观测的输出输出的信息来构造系统状态的问题。,线性连续系统的能控性(1/2),4.1 线性连续系统的能控性 本节主要讨论线性定常连续系统的状态能控性和输出能控性问题。 关键问题: 1. 基本概念: 状态能控性和输出能控性 2. 基本方法: 状态能控性和输出能控性的判别方法 3. 状态能控性的物理意义和在状态空间中的几何意义,重点喔!,能控性的直观讨论(1/12),4.1.1 能控性的直观讨论 状态能控性反映输入u(t)对状态x(t)的控制能力。 如果状态变量x(t)由任意初始时刻的任意初始状态引起的运动都能由输入(控制项)来影响,并能在有限时间内控制到空间原点,那么称系统是能控的, 或者更确切地说,是状态能控的。 否则,就称系统为不完全能控的。 下面通过实例来说明能控性的意义 。,能控性的直观讨论(5/12),例 某并联双水槽系统如图4-2所示,其截面积均为A,它们通过阀门O均匀地输入等量液体,即其流量QO相

4、同。,图4-2并联双水槽系统,能控性的直观讨论(6/12),当阀门1和2的开度不变时,设它们在平衡工作点邻域阀门阻力相等并可视为常数,记为R。,图中h1(t)和h2(t)分别为水槽液面高度,Q1(t)和Q2(t)分别为流量。 该双水槽系统的状态能控性可分析如下: 对本例的流体力学系统,假设对两个水槽的流入和流出的水流体已处于平衡。 下面仅考虑流量QO的变化量QO所引起的水槽水位的变化。,能控性的直观讨论(7/12),由各水槽中所盛水量的平衡关系和流量与压力(水面高度)的关系,有,其中代表平衡工作点附近的变化量。,能控性的直观讨论(8/12),选上述方程中变化量h1和h2为状态变量,将状态变量带入方程中并消去中间变量Q1和Q2消去,则有,解上述状态方程,可得,能控性的直观讨论(9/12),由上述解可知,当初始状态x1(0)和x2(0)不等时,则x1(t)和x2(t)的状态轨迹完全不相同,即在有限时间内两条状态轨线不相交。 因此,对该系统,无论如何控制流入的流量QO(t),都不能使两水槽的液面高度的变化量h1(t)和h2(t)在有限时间内同时为零,即液面高度不完全能进行任意控制。 上面用实

5、际系统初步说明了能控性的基本含义,能控性在系统状态空间模型上的反映可由如下两个例子说明。,能控性的直观讨论(10/12),补充例1 给定系统的状态空间模型与结构图分别为,本例中,状态变量x1的运动只受初始状态x1(0)的影响,与输入无关, 即输入u(t)不能控制x1(t)的运动,而且x1(t)不能在有限时间内衰减到零。 因此,状态x1(t)不能控,则整个系统是状态不完全能控的。,能控性的直观讨论(11/12),由该状态方程可知,状态变量x1(t)和x2(t)都可由输入u单独控制, 可以说,x1(t)和x1(t)都是单独能控的。 对该状态方程求解后可得 x1(t)-x2(t)=e-3tx1(0)-x2(0) 即状态x1(t)和x1(t)总是相差一个固定的,不受u(t)控制的函数值。,补充例2 给定系统的状态空间模型为,能控性的直观讨论(12/12),因此,x1(t)和x1(t)不能在有限时间内同时被控制到零或状态空间中的任意状态,只能被控制在满足由状态方程解所规定的状态空间中的曲线上。 所以,虽然状态x1(t)和x2(t)都是单独能控的,但整个系统并不能控。 前面4个例子,可通过直观分析

6、来讨论系统的状态能控性,但对维数更高、更复杂的系统,直观判断能控性是困难的。 下面将通过给出状态能控性的严格定义,来导出判定系统能控性的充要条件。,状态能控性的定义(1/5),4.1.2 状态能控性的定义 由状态方程 x(t)=A(t)x(t)+B(t)u(t) 及其第3章的状态方程求解公式可知, 状态的变化主要取决于系统的初始状态和初始时刻之后的输入,与输出y(t)无关。 因此研究讨论状态能控性问题,即输入u(t)对状态x(t)能否控制的问题,只需考虑系统在输入u(t)的作用和状态方程的性质,与输出y(t)和输出方程无关。 对线性连续系统,我们有如下状态能控性定义。,状态能控性的定义(2/5)能控性定义,定义4-1 若线性连续系统 x(t)=A(t)x(t)+B(t)u(t) 对初始时刻t0(t0T,T为时间定义域)和初始状态x(t0), 存在另一有限时刻t1(t1t0,t1T), 可以找到一个控制量u(t), 能在有限时间t0,t1内把系统状,态从初始状态x(t0)控制到原点,即x(t1)=0, 则称t0时刻的状态x(t0)能控; 若对t0时刻的状态空间中的所有状态都能控,则称系统

7、在t0时刻状态完全能控;,状态能控性的定义(3/5)能控性定义,若系统在所有时刻状态完全能控,则称系统状态完全能控,简称为系统能控。 即,若逻辑关系式 t0T x(t0) t1T(t1t0) u(t)(tt0,t1) (x(t1)=0) 为真,则称系统状态完全能控。 若存在某个状态x(t0)不满足上述条件,称此系统是状态不完全能控的,简称系统为状态不能控。 即,若逻辑关系式 t0T x(t0) t1T u(t) (t1t0)(tt0,t1)(x(t1)0) 为真,则称系统状态不完全能控。,状态能控性的定义(4/5),对上述状态能控性的定义有如下讨论: 1. 控制时间t0,t1是系统状态由初始状态转移到原点所需的有限时间。 对时变系统,控制时间的长短,即t1-t0的值,与初始时刻t0有关。 对于定常系统,该控制时间与t0无关。 所以,对于线性定常系统状态能控性,可不必在定义中强调“在所有时刻状态完全能控”,而为“某一时刻状态完全能控,则系统状态完全能控”。 即,若逻辑关系式 t0T x(t0) t1T(t1t0) u(t) (tt0,t1) (x(t1)=0) 为真,则称线性定常连续系统

8、(A,B)状态完全能控。,状态能控性的定义(5/5),2. 在上述定义中,对输入u(t)没有加任何约束,只要能使状态方程的解存在即可。 如果矩阵A(t)和B(t)以及向量u(t)的每个元素都是t的分段连续函数,则状态方程存在唯一解。 u(t)为分段连续的条件,在工程上是很容易满足的。 3. 在状态能控性定义中,对输入u(t)和状态x(t)所处的空间都没有加任何约束条件。 在实际工程系统中,输入变量空间和状态空间都不为无限制条件的线性空间,因此上述能控性的定义对工程实际系统还需作具体的分析。,线性定常连续系统的状态能控性判据(1/1),4.1.3 线性定常连续系统的状态能控性判别 线性定常连续系统状态能控性判据有许多不同形式,下面分别讨论常用的 代数判据和 模态判据。,代数判据(1/18)代数判据定理,1. 代数判据 定理4-1(线性定常连续系统能控性秩判据) 线性定常连续系统(A,B)状态完全能控的充要条件为下述条件之一成立: 1. 矩阵函数e-AtB的各行函数线性独立,即不存在非零常数向量fRn,使得 fe-AtB0 2. 如下定义的能控性矩阵 Qc=B AB An-1B 满秩,即

9、rankQc=rankB AB An-1B=n ,代数判据(14/18),定理4-1给出的是线性定常连续系统状态能控性充要的两个判据,可直接用于能控性判定。 由于检验e-AtB的各行是否函数线性独立相对困难一些,因此实际应用中通常用定理4-1的条件2。 条件2我们亦称为线性定常连续系统状态能控性的代数判据。,代数判据(15/18)-例4-1,例4-1 试判断如下系统的状态能控性,解 由状态能控性的代数判据有,代数判据(16/18)-例4-1,故,因此,该系统状态完全能控。,代数判据(17/18)-例4-2,例4-2 试判断如下系统的状态能控性,代数判据(18/18),将上述矩阵的第3行加到第2行中去,则可得矩阵,显然其秩为2。而系统的状态变量维数n=3,所以状态不完全能控。,解 由状态能控性的代数判据有,模态判据(1/14),2. 模态判据 在给出线性定常连续系统状态能控性模态判据之前,先讨论状态能控性的如下性质: 线性定常系统经线性变换后状态能控性保持不变。 下面对该结论作简单证明。 设线性变换阵为P,则系统(A,B)经线性变换 后为 ,并有,模态判据(2/14),由于,因此系统 的状态能控性等价于(A,B)的状态能控性,即线性变换不改变状态能控性。,模态判据(3/14),基于上述结论,可利用线性变换将一般状态空间模型变换成约旦规范形,通过分析约旦规范形(对角线规范形视为其特例)的能控性来分析原状态空间模型的能控性。 下面讨论线性定常连续系统约旦规范形的状态能控性模态判据。,模态判据(4/14)定理4-2,定理4-2 对为约旦规范形的线性定常连续系统(A,B),有: 1) 若A为每个特征值都只有一个约旦块的约旦矩阵,则系统能控的充要条件为 对应A的每个约旦块的B的分块的最后一行都不全为零; 2) 若A为某个特征值有多于一个约旦块的约旦矩阵,则系统能控的充要条件为 对应A的每个特征值的所有约旦块的B的分块

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