近世代数课件--2.1群的定义
20页1、1群的定义,内容导航 1.1引例 1.2群的第一定义及例子 1.3群的第二定义 1.4群的第三定义 1.5群的第四定义 1.6几个进一步的概念,1.1引例,例1 集合 上所有一一变换 . 引入记号:, 对于乘法来说是闭的: 对于 ;,结合律成立: ,对于 ;, 里至少存在一个 ,能让 对于 的任何元 都成立, 这样的 称为左单 位元;,对于 的每一个元 ,在 里存在一个元,记 为 ,能让 这样的 称为 的左逆元.,例3 保持 中多项式 不变的变换.,1.2群的第一定义及例子,群的定义I 我们说,一个不空集合对于 一个叫做乘法的代数运算来说作成一个群,假如:,III 里至少存在一个 ,能让 对于 的任何元 都成立, 这样的 称为左单 位元;, 对于乘法来说是闭的: 对于 ;,结合律成立: ,对于 ;, 对于 的每一个元 ,在 里存在一个元,记 为 ,能让 这样的 称为 的左逆元.,注1 群 与运算联系在一起.,例4. (平凡群) 只包含一个元 乘法是 对于这个乘法来说作成一个群,例5. 在数集中,关于熟习的运算,发现一些群的正反面的例子 .,例6 在矩阵集合中发现一些群的正反面的例子.,
2、例7 向量空间是一个加法群,例8 (重新定义的运算) 在 上定义运算 判断 关于给定的运算是否构成群.,注2 群定义中, I和II 是验算, III和IV 需要找元素. 注3 III和IV有逻辑先后.,1.3 群的第二定义,引理1 一个左逆元一定也是一个右逆元, 这句话的意思是:,证明 有元 有左逆元 ,使得 一方面, 但另一方面, 所以,群的定义II 我们说,一个不空集合 对于一个叫做乘法的代数运算来说作成一个群,假如:, 对于乘法来说是闭的: 对于 ;,结合律成立: ,对于 ;,III 里至少存在一个 ,能让 对于 的任何元 都成立, 这样的 称为右单 位元;,对于 的每一个元 ,在 里存在一个元,记 为 ,能让 这样的 称为 的右逆元.,证明: (1)定义I 证明定义II, 已经完成 (2)定义II证明定义I, 需要类似的二步(作业),1.4群的第三定义,群的定义III 我们说,一个不空集合 对于一个叫做乘法的代数运算来说作成一个群,假如:, 对于乘法来说是闭的: 对于 ;,结合律成立: ,对于 ;,III 里至少存在一个 ,能让 对于 的任何元 都成立, 这样的 称为右单 位元
3、;,对于 的每一个元 ,在 里存在一个元,记 为 ,能让 这样的 称为 的逆元.,1.5 群的第四定义,群的定义IV 我们说,一个不空集合 对于一个叫做乘法的代数运算来说作成一个群,假如:, 对于这个乘法来说是闭的;,结合律成立: ,对于 ;,V对于 的任意两个元 , 来说,方程 和 都在里有解,证明 定义III 定义IV 定义I 定义III (1)定义III 定义IV, 容易 (2)定义IV 定义I,III. 需要证明: 里至少存在一个元 ,叫做 的 一个左单位元,能让 对于 的任何元 都成立 对于一个固定的元 , 在 里有解我们任意取一个解 ,叫它作: (),我们要证明这个 就是左单位元,即:对于 的任意元 , 成立 有解 : () 由(),() 这样,我们证明了 的存在, 对于 的每一个元 ,在 里至少存在一个 元 ,叫做 的一个左逆元,能让 成立这里 是一个固定的左单位元 由V, 可解 (3) 定义I 定义III ,已经完成。,1.6 几个进一步的概念,以下我们还要说明几个名词和符号,一个群 的元素的个数可以有限也可以无限我们规定,定义1 一个群叫做有限群,假如这个群的元的个数是一个有限数不然的话,这个群叫做无限群一个有限群的元的个数叫做这个群的阶,在一个群里结合律是对的,所以 有意义,是 的某一个元这样,我们当然可以把 个相同的元来相乘因为我们用普通乘法的符号 来表示群的乘法,这样得来的一个元我们也用普通符号来表示: 是正整数 并且也把它叫做 的 次乘方(简称 次方),在一般的群里交换律未必成立但在特别的群里交换律是可以成立的,比方说我们以上三个例子里的群就都有这个性质,定义2 一个群叫做交换群,假如 对于 的任何两个元 , 都成立,作业: p35: 3,
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