纳什均衡的扩展与精炼（四川大学）

1、博弈论及其应用 （汪贤裕）,#,博弈论及其应用,第3章 纳什均衡的扩展与精炼,博弈论及其应用 汪贤裕,#,博弈论及其应用 汪贤裕,2,第3章 纳什均衡的扩展与精炼,主要内容 3.1 不完全信息的静态博弈 3.2 完全且完美信息动态博弈 3.3 重复博弈 3.4 不完全信息的动态博弈,博弈论及其应用 汪贤裕,#,博弈论及其应用 汪贤裕,3,3.1 不完全信息的静态博弈,3.1.1 不完全信息博弈与海萨尼转换 3.1.2 规范式表述和贝叶斯纳什均衡 3.1.3 贝叶斯静态博弈的典型模型,博弈论及其应用 汪贤裕,#,博弈论及其应用 汪贤裕,4,3.1.1 不完全信息博弈 与海萨尼转换, 不完全信息的含义与形式 海萨尼转换 例 3.1.1 不完全信息的行业博弈,博弈论及其应用 汪贤裕,#,博弈论及其应用 汪贤裕,5,不完全信息的含义与形式,不完全信息博弈中的不完全信息专指一种博弈局势中局中人对其他局中人与该种博弈局势有关的事前信息了解不充分，而不是博弈中产生的与局中人实际策略选择有关的信息。 这里所谓的事前信息是指关于在博弈实际开始之前局中人所处地位或者状态的信息，这种地位与状态对于博弈局势会

2、产生影响。,博弈论及其应用 汪贤裕,#,博弈论及其应用 汪贤裕,6,不完全信息的含义与形式,博弈中的不完全信息具有多种形式，如局中人对其他局中人(或自己)所掌握的自然资源、人力资源、商业经验、决策能力的了解不充分，对其他局中人偏好与品位的了解不完全，对其他局中人可用策略的了解不完全。对处于同一种博弈局势的局中人的具体数目了解不完全，等等。 这些不完全信息情形在博弈论分析中可以统归为一种不完全信息：局中人对其他局中人的支付函数的不完全了解。,博弈论及其应用 汪贤裕,#,博弈论及其应用 汪贤裕,7,海萨尼转换,在静态博弈中，我们把各种不完全信息归结为局中人的各种不同的类型。若局中人对参加博弈的每一个局中人的类型都了解，则对各个局势（即策略组合）下的收益（支付函数）就知道了。 对这种设想，我们引入海萨尼转换。,博弈论及其应用 汪贤裕,#,博弈论及其应用 汪贤裕,8,海萨尼转换,（1）引入一个虚拟的局中人“自然”(nature)或者说是“上帝”(God) ，他不考虑自己的得失，仅赋予博弈中各局中人的类型向量 ，其中 ti 属于第i个局中人的可行类型空间 Ti 。 (Ti 为局中人i 的特征的完

3、备描述)； （2）自然只把局中人 i 的真实的类型Ti 告诉局中人 i 本人，却不让其他局中人知道。但“自然”将把在 上的概率分布 告诉每一个局中人；,博弈论及其应用 汪贤裕,#,博弈论及其应用 汪贤裕,9,海萨尼转换（续）,（3）所有局中人同时行动，局中人 i 从自己的策略空间 S i 中选择策略s i ；其中局中人 i 的策略空间 S i 与局中人i 的类型ti 有关，一般记为 Si ( ti ) ； （4）各局中人 i 除“自然”外的支付函数为： ui ( s1,s2,si,sn,ti ) 。,博弈论及其应用 汪贤裕,#,博弈论及其应用 汪贤裕,10,例 3.1.1 不完全信息的行业博弈,行业内有一个在位者（局中人1）和一个潜在的进入者（局中人2）。局中人1 决定是否在某地建立一个新工厂，同时局中人2 决定是否在该地进入该行业。局中人2不知道局中人1建厂的成本是高还是低，但局中人1自己知道。这个博弈的收益如下表所示。,博弈论及其应用 汪贤裕,#,博弈论及其应用 汪贤裕,11,例 3.1.1 不完全信息的行业博弈(续),表3.1.1 不完全信息的行业博弈规范式,博弈论及其应用 汪贤

4、裕,#,博弈论及其应用 汪贤裕,12,例 3.1.1 不完全信息的行业博弈（续）,在该例中，进入者似乎是在与两个不同的在位者博弈，一个是高成本的在位者，另一个是低成本的在位者。一般地，如果在位者有T种可能的不同成本函数，进入者就似乎是在与T个不同的在位者博弈。 在1967年以前，博弈论专家认为这样的不完全信息博弈是没法分析的，因为当个局中人并不知道他在与谁博弈时，博弈的规则是没有定义的。直到1967年，海萨尼提出了海萨尼转换解决了这个问题。,博弈论及其应用 汪贤裕,#,博弈论及其应用 汪贤裕,13,例 3.1.1 不完全信息的行业博弈（续）,在该例中，自然决定了局中人有“高成本”和“低成本”两种类型，局中人只有一种类型。 若局中人属于“高成本”类型，则构成表3.1.1中左边一个标准的完全信息下的静态博弈。若局中人属于“低成本”类型，则构成表3.1.1中右边一个标准的完全信息下的静态博弈。 局中人知道自己的类型，局中人不知道局中人的类型，但两个局中人对“自然”给与局中人的类型的概率分布具有一致的判断。不妨设 ， 。下节讨论,博弈论及其应用 汪贤裕,#,博弈论及其应用 汪贤裕,14,3.1

5、.2 规范式表述和贝叶斯纳什均衡, 定义3.1.1 不完全信息的静态博弈 定义3.1.2 贝叶斯纳什均衡 贝叶斯纳什均衡与一般纳什均衡的区别 贝叶斯纳斯均衡的存在性,博弈论及其应用 汪贤裕,#,博弈论及其应用 汪贤裕,15,定义3.1.1 不完全信息的静态博弈,不完全信息静态博弈包括如下4个要素。 局中人集合 。 每个局中人有个类型空间 。以及在全体类型空间 上的概率分布 。 每个局中人有（与自身的类型 相关的）策略集 且策略集 与其它局中人的类型无关 。 每一个局中人都有其收益函数 ，即收益函数不仅依赖于策略组合 ，也依赖于自身的类型 。,博弈论及其应用 汪贤裕,#,博弈论及其应用 汪贤裕,16,定义3.1.1 不完全信息的静态博弈（续）,满足以上4个要素都是共同知识的博弈称为不完全信息的静态博弈，也称为贝叶斯静态博弈，记为 当局中人 自身的类型为 时，他选择策略 的期望收益为：,（3.1.2）,博弈论及其应用 汪贤裕,#,博弈论及其应用 汪贤裕,17,定义3.1.2 贝叶斯纳什均衡,在贝叶斯静态博弈 中，若 是一个策略组合，且对每一个 和 都有： （3.1.3） 则称策略组合 是一

6、个贝叶斯纳什均衡。,博弈论及其应用 汪贤裕,#,博弈论及其应用 汪贤裕,18,贝叶斯纳什均衡与 一般纳什均衡的不同点,（1）贝叶斯纳什均衡用贝叶斯公式得到的，以概率分布作为依据，考虑其它局中人不同类型下的期望收益。 （2）贝叶斯纳什均衡研究的是局中人的策略选择，并且这种策略选择依赖于自身的类型。,博弈论及其应用 汪贤裕,#,博弈论及其应用 汪贤裕,19,贝叶斯纳什均衡存在性,一个凹函数一定是拟凹函数。,（3.1.4）,博弈论及其应用 汪贤裕,#,博弈论及其应用 汪贤裕,20,贝叶斯纳什均衡存在性（续）,（3.1.5）,博弈论及其应用 汪贤裕,#,博弈论及其应用 汪贤裕,21,贝叶斯纳什均衡存在性（续）,博弈论及其应用 汪贤裕,#,博弈论及其应用 汪贤裕,22,贝叶斯纳什均衡存在性（续）,博弈论及其应用 汪贤裕,#,博弈论及其应用 汪贤裕,23,贝叶斯纳什均衡存在性（续）,比较定理3.1.2和定理2.2.3，显然定理3.1.2的条件更强些。其原因在于在贝叶斯博弈中，局中人 的收益是纯策略下的期望收益（式3.1.2）或局中人 的收益函数 可以随着类型的变化而变化。当 是 的凹函数，则其凸组

7、合 也是 的凹函数，这就保证了贝叶斯纳什均衡点的存在。但是若 是拟凹函数，则它的凸组合不能保证是拟凹函数。,博弈论及其应用 汪贤裕,#,博弈论及其应用 汪贤裕,24,贝叶斯纳什均衡存在性（续）,博弈论及其应用 汪贤裕,#,博弈论及其应用 汪贤裕,25,贝叶斯纳什均衡存在性（续）,在贝叶斯静态博弈 中，若 是一个混合策略组合，且对每一个 和对 任意的 都有 则称混合策略组合 是一个混合策略下的贝叶斯纳什均衡。这里的 E 是指对混合策略 下局中人 的收益 期望。,博弈论及其应用 汪贤裕,#,博弈论及其应用 汪贤裕,26,贝叶斯纳什均衡存在性（续）,定理3.1.3 在贝叶斯静态博弈 中， 是 的一个混合策略下的贝叶斯纳什均衡的 充分必要条件是：对每一个局中人和每一个纯策略 有： 其中 是局中人i的一个纯策略，即特殊的混合策略（0,0,1,0,0）。 定理3.1.4 在贝叶斯静态博弈中，必有混合策略下的贝叶斯纳什均衡。,（3.1.7）,博弈论及其应用 汪贤裕,#,博弈论及其应用 汪贤裕,27,例3.1.1 不完全信息的行业博弈(续),采用定义3.1.4和定理3.1.3对例3.1.1进行进行如下

8、的详细求解讨论。 在位者（局中人1）有两种类型 ， 代表高成本， 代表低成本及潜在进入者(局中人2)只有1种类型， 。自然决定了局中人类型上的概率分布为：,博弈论及其应用 汪贤裕,#,博弈论及其应用 汪贤裕,28,例 3.1.1 不完全信息的 行业博弈（续）,设在高成本时局中人1的策略集为 。 代表建厂， 表示不建厂。局中人1此时采用 策略的概率为 （ ），采用策略 概率为 。在低成本时局中人1的策略集为 , 代表建厂， 代表不建厂。局中人1此时采用策略 的概率 （ ），采用策略策略 的概率为 。 局中人2只有一种类型，则其策略集 ， 代表进入， 代表不进入。局中人2此时采用策略 的概率为 （ ），采用策略 的概率为 。,博弈论及其应用 汪贤裕,#,博弈论及其应用 汪贤裕,29,例 3.1.1 不完全信息的 行业博弈（续）,局中人1在高成本时期望收益记为 ，在低成本时的期望收益为 ，局中人2的期望收益记为 。,博弈论及其应用 汪贤裕,#,博弈论及其应用 汪贤裕,30,例 3.1.1 不完全信息的 行业博弈（续）,设 是混合策略下的贝叶斯纳什均衡，由定理3.1.3，应满足下列不等式,化简,博弈论及其应用 汪贤裕,#,博弈论及其应用 汪贤裕,31,例 3.1.1 不完全信息的 行业博弈（续）,由以化简所得不等式可进一步得其等价关系为：,博弈论及其应用 汪贤裕,#,博弈论及其应用 汪贤裕,32,例 3.1.1 不完全信息的 行业博弈（续）,由以上不等式组（I），只能得到 。将 带入不等式组 有：,博弈论及其应用 汪贤裕,#,博弈论及其应用 汪贤裕,33,例 3.1.1 不完全信息的 行业博弈（续）,为求解不等式组 和

《纳什均衡的扩展与精炼（四川大学）》由会员tia****nde分享，可在线阅读，更多相关《纳什均衡的扩展与精炼（四川大学）》请在金锄头文库上搜索。