工程数学线性代数目录
85页1、工程数学 线性代数目录,第一章:行列式 第二章:矩阵及其运算 第三章:矩阵的初等变换与线性方程组 第四章:向量组的线性相关性 第五章:相似矩阵及二次型 第六章:线性空间与线性变换,第二章 矩阵及其运算,本章关键词: 1. 矩阵 定义 相等 零矩阵 对角矩阵 数量、单位矩阵 矩阵举例 2. 矩阵的运算 矩阵的加法 数与矩阵相乘 矩阵与矩阵相乘 矩阵的转置 方阵的行列式 共轭矩阵 逆矩阵 定义 性质 伴随矩阵 求逆公式 方阵的逆阵性质 矩阵分块法 分块矩阵概念 分块矩阵的运算,本章知识结构,由,个数,,把,它们排成行列的数表。,(1),称为m行n列矩阵简称,矩阵()也简记为,或,。,矩阵的定义,如果两个矩阵,是同型矩阵,且各对,应元素也相等,即,则称矩阵A与B相等,记作,矩阵的相等,零矩阵,对,矩阵而言,零矩阵是指,个元素全为,0的矩阵记作,注 不同型的零矩阵也是不同的。,对角矩阵,对角矩阵是指非零元素只可能出现在主对角线上(或非主对角元皆为零)的方阵记作,数量、单位矩阵,数量矩阵是指主对角线元素都相等,等于某个数的对角矩阵记作,单位矩阵是指,的数量矩阵记作,例(系数矩阵)由n个未知量m个
2、方程组成的方程组为,方程个数与未知量个数不一定相等,方程的系数构成矩阵,这个矩阵称为方程的系数矩阵,矩阵应用实例,例(通路问题),四个城市之间的火车交通情况如下图所示(图中单箭头代表只有单向车,双箭头表示有双向车),两个 矩阵,的和记作,注 只有同型矩阵才可以相加例如,对任一矩阵,,规定,,显然,,称,负矩阵,定义矩阵的减法运算为,矩阵的加法,数与矩阵相乘,数 与矩阵,的数量乘积记作,矩阵的加法和数量乘法统称为矩阵的线性运算,矩阵的线性运算满足以下规律:,设,的乘积,是指,一个,的矩阵,其中,是,的第,行第,列的元素,它是,的第,行与,的第,列的元素对应乘积的和即,注 只有当,的列数等于,的行数时,才能进行,的乘法运算,这就是两个矩阵可进行乘法运算的条件其结果,的行数等于,的行数,列数等于,的列,数,矩阵与矩阵相乘,把,矩阵,的行列依次互换得到的一个,矩阵,称为,的转置矩阵,记作,或,,即,则,矩阵的转置,转置矩阵具有下面性质:,方阵的行列式,阶方阵,的各元素按原位置排列构成的行列式称为方阵的行列式,记作,或,方阵的行列式有下列性质(设,都是,阶,方阵):,当A = 为复矩阵时,用 表
3、示 的共轭复数,,记 称为A的共轭矩阵.,共轭矩阵满足下述运算规律(设A,为复矩阵,,为复数,且运算都是可行的),共轭矩阵,设,是,阶矩阵,若存在,阶矩阵,,使,则称,为可逆矩阵,矩阵,称为矩阵,的逆矩 ,阵,简称逆阵,注 (1)由矩阵定义可知,可逆矩阵及其逆矩阵是同阶的方阵矩阵若不是方阵则没有逆矩阵,(2),与,的地位是平等的,故也可,以称,是,的逆矩阵,逆矩阵的定义,定理1 如果矩阵,逆矩阵的性质,可逆,那么,的逆矩阵是唯,一的,伴随矩阵,设有,阶矩阵,是,中元素,的代,数余子式,,即用,的行列式中每个元素的代数余子式构成,的矩阵,称为矩阵,的伴随矩阵,简称为伴随阵,,记作,定理2 阶矩阵,可逆的充分必要条件是,且:,,,方阵的逆阵性质,方阵的逆阵有以下性质: 定理3 设 都是 阶方阵,则,(1) 若 可逆,则 也可逆,且 ;,(2) 若 可逆, ,则 可逆,且 ;,(3) 若 都是 阶可逆矩阵,则 也是可逆 ;,(4)若 可逆,则 可逆,且;,(5)若 可逆,则 ,矩阵,且,分块矩阵的概念,对 矩阵 ,把 行分成 组, 列分成 组,每组中的行数或列数可以不同,,把矩阵 分割成 个
4、小块,就得到 的一个 分块矩阵, 写成,其中, ( )称为 的子 块,注:同一个矩阵,根据需要可以采用多种分块方 法,构成形式不同的分块矩阵例如,分成子块的分法有很多,下面举出三种分块形式:,分块矩阵的运算,(1)分块矩阵的加法 设分块矩阵 , ,如果 与 对应的子块 与 都是同型矩阵,则,(2)分块矩阵的数量乘法,设分块矩阵 , 是数,则,(3)分块矩阵的乘法运算 设 , ,如果矩阵 与矩阵 的,分块方法是“恰当”的,亦即的 列的分法与的 行的 分法完全相同,其中 , , 的列数等于 , , 的,行数,那末,其中 ( ),(4)分块矩阵的转置 设矩阵 分块为,则,注 分块矩阵转置时,不仅整个分块矩阵按块 转置,而且其中每一块都要同时转置,例如 , 则,(5) 分块对角矩阵,设 阶矩阵 适当分块后得分块矩阵,其中 各为 阶方阵,这种分块矩 阵称为分块对角矩阵,对于分块对角矩阵有以下结论:,(1),(2)分块对角矩阵 可逆的充分必要条件是 均 可逆 ,这时,矩阵,矩阵的定义,矩阵的运算性质,矩阵的加法,相等,数与矩阵相乘,矩阵的转置,方阵的行列式,共轭矩阵,特殊矩阵,零矩阵,对角矩阵,数
《工程数学线性代数目录》由会员tia****nde分享,可在线阅读,更多相关《工程数学线性代数目录》请在金锄头文库上搜索。
2024-03-21 39页
2024-03-21 41页
2024-03-21 40页
2024-03-21 34页
2024-03-21 33页
2024-03-21 35页
2024-03-21 21页
2024-03-21 45页
2024-03-21 33页
2024-02-20 85页