高考专题函数与方程问题的分析-高中数学(文)黄金100题--- 精校解析Word版
18页1、第19题 函数与方程问题的分析I题源探究黄金母题【例1】已知,求证:(1);(2)【证明】(1)(2)精彩解读【试题来源】人教版A版必修1第82页复习参考题A组第7题【母题评析】本题考查了指数幂运算的性质【思路方法】逆用指数幂运算的性质解题II考场精彩真题回放【例2】【2017高考江苏卷】设是定义在且周期为1的函数,在区间上, 其中集合,则方程的解的个数是 【答案】8【解析】由于 ,则需考虑 的情况在此范围内, 且 时,设,且互质若,则由,可设,且互质,因此,则,此时左边为整数,右边非整数,矛盾,因此,因此 不可能与每个周期内对应的部分相等,只需考虑与每个周期的部分的交点,画出函数图象,图中交点除外其它交点横坐标均为无理数,属于每个周期的部分,且处,则在附近仅有一个交点,一次方程解的个数为8【例3】【2014高考辽宁卷】已知定义在上的函数满足:;对所有,且,有若对所有,则的最小值为( )A B C D【答案】B【解析】不妨令,则解法一: ,即得,另一方面,当时,符合题意,当时,故解法二:当时, ,当时,故【命题意图】本题属于能力题,中等难度在考查抽象函数问题、绝对值不等式、函数的最值等
2、基础知识的同时,考查了考生的逻辑推理能力、运算能力、分类讨论思想及转化与化归思想【考试方向】这类试题在考查题型上,通常基本以选择题或填空题的形式出现,难度较大【难点中心】解答本题的关键,是利用分类讨论思想、转化与化归思想,逐步转化成不含绝对值的式子,得出结论对于方程解的个数(或函数零点个数)问题,可利用函数的值域或最值,结合函数的单调性、草图确定其中参数范围从图象的最高点、最低点,分析函数的最值、极值;从图象的对称性,分析函数的奇偶性;从图象的走向趋势,分析函数的单调性、周期性等III理论基础解题原理1函数方程:含有未知函数的等式叫做函数方程,例如:都可称为函数方程在高中阶段,涉及到函数方程有以下几个类型:(1)表示函数的某种性质:例如体现是偶函数;体现是周期为1的周期函数(可详见“函数对称性与周期性”一节)(2)可利用解方程组的思想解出涉及的函数的解析式:例如:,可用代替得,即 (3)函数方程也是关于变量的恒等式,所以通过对变量赋特殊值得到某些数的函数值2双变量函数方程的赋值方法:(1)对均赋特殊值,以得到某些点的函数值,其中有些函数值会对性质的推导起到关键作用,比如,在赋特殊值的过
3、程中要注意所赋的值要符合函数定义域(2)其中某一个变量不变,另一个赋特殊值,可得到单变量的恒等式,通常用于推断函数的性质IV题型攻略深度挖掘【考试方向】这类试题在考查题型上,通常以选择题或填空题或解答题的形式出现,考查对基本初等函数及超越函数性质的理解,一般难度较大【技能方法】常见函数所符合的函数方程:在填空选择题时可作为特殊的例子辅助处理,但是在解答题中不能用这些特殊的函数代表函数方程抽 象 函 数具 体 模 型比例函数:正指数函数:当时,当时,幂函数:三角函数:【易错指导】由于抽象函数没有具体的函数解析式,构造时容易顾此失彼,忽略性质的背后可能还蕴涵着其他性质,结论背后可能还推论出其他结论所以,在解题时一定要反复推敲,不断假设验证,或者索性先构造一个具体函数,然后隐去解析式来叙述这个函数的性质,那么出现错题的可能性就小了许多V举一反三触类旁通考向1 求抽象函数的解析式(值)【例1】【2017东北三省三校第二次联合模拟考试】已知偶函数的定义域为,若为奇函数,且,则的值为( )A-3 B-2 C2 D3【答案】D【例2】已知函数满足:,对任意实数都有,则 ( )A B C D 【答案】
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