高考 圆锥曲线的存在、探索问题-2018精品之高中数学(理)黄金100题---精校解析Word版
46页1、第81题 圆锥曲线的存在、探索问题I题源探究黄金母题【例1】已知经过椭圆的右焦点作垂直于轴的直线,交椭圆于两点,是椭圆的左焦点(I)求的周长;(II)如果不垂直于轴,的周长有变化吗?为什么?【答案】(I)20;(II)没有变化【解析】(I)由已知,当轴时,代入椭圆的方程可得纵坐标分别为,从而的周长为(II)如果不垂直于轴,的周长不变,证明如下:由椭圆的定义可知:,两式相加即得的周长为精彩解读【试题来源】人教A版选修2-1P36练习T3【母题评析】本题考查椭圆的定义及其简单的几何性质,考查考生简单的识记及基本计算能力【思路方法】利用椭圆的定义解题II考场精彩真题回放【例1】【2017高考全国III20改编】在直角坐标系中,曲线与轴交于两点,点的坐标为当变化时,解答下列问题:(I)能否出现的情况?说明理由;(II)证明过三点的圆在轴上截得的弦长是否为定值?【答案】(I)不会;(II)为定值3【解析】试题分析:(I)设,由得;由韦达定理得,矛盾,所以不存在(II)可设圆方程为,因为过,所以,令 得,即弦长为3试题解析:(I)设,则是方程的根,所以,则,所以不会能否出现的情况(II)解法1:过
2、三点的圆的圆心必在线段垂直平分线上,设圆心,则,由得,化简得,所以圆的方程为,令得,所以过三点的圆在轴上截得的弦长为,所以过三点的圆在轴上截得的弦长为定值3解法2:设过三点的圆与轴的另一个交点为D,由可知原点O在圆内,由相交弦定理可得,又,所以,所以过三点的圆在轴上截得的弦长为,为定值3【例2】【2016年高考四川】已知椭圆E:的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点,直线与椭圆E有且只有一个公共点T()求椭圆E的方程及点T的坐标;()设O是坐标原点,直线l平行于OT,与椭圆E交于不同的两点A、B,且与直线l交于点P证明:存在常数,使得,并求的值【答案】(),点T坐标为(2,1);()【解析】试题分析:()由椭圆两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点可得,从而可得,椭圆的标准方程中可减少一个参数,再利用直线和椭圆只有一个公共点,联立方程,方程有两个相等实根,解出b的值,从而得到椭圆的标准方程;()首先设出直线方程为,由两直线方程求出点坐标,得,同时设交点,把方程与椭圆方程联立后消去得的二次方程,利用根与系数关系,得,再计算,比较可得值试题解析:(I)由已知,即,所以,则
3、椭圆E的方程为由方程组 得方程的判别式为,由,得,此方程的解为,所以椭圆E的方程为点T坐标为(2,1)(II)由已知可设直线 的方程为,有方程组 可得所以P点坐标为( ),设点A,B的坐标分别为由方程组 可得方程的判别式为,由,解得由得所以,同理,所以故存在常数,使得【名师点睛】本题考查椭圆的标准方程及其几何性质,考查学生的分析问题解决问题的能力和数形结合的思想在涉及到直线与椭圆(圆锥曲线)的交点问题时,一般都设交点坐标为,同时把直线方程与椭圆方程联立,消元后,可得,再把用表示出来,并代入刚才的,这种方法是解析几何中的“设而不求”法可减少计算量,简化解题过程【例3】【2016高考新课标I】在直角坐标系中,直线l:y=t(t0)交y轴于点M,交抛物线C:于点P,M关于点P的对称点为N,连结ON并延长交C于点H(I)求;(II)除H以外,直线MH与C是否有其它公共点?说明理由【答案】(I)2(II)没有【解答】试题分析:先确定,的方程为,代入整理得,解得,得,由此可得为的中点,即(II)把直线的方程,与联立得,解得,即直线与只有一个公共点,所以除以外直线与没有其它公共点试题解析:()由已知
4、得,又为关于点的对称点,故,的方程为,代入整理得,解得,因此所以为的中点,即()直线与除以外没有其它公共点理由如下:直线的方程为,即代入得,解得,即直线与只有一个公共点,所以除以外直线与没有其它公共点【名师点睛】高考解析几何解答题大多考查直线与圆锥曲线的位置关系,直线与圆锥曲线的位置关系是一个很宽泛的考试内容,主要由求值、求方程、求定值、最值、求参数取值范围等几部分组成;解析几何中的证明问题通常有以下几类:证明点共线或直线过定点;证明垂直;证明定值问题其中考查较多的圆锥曲线是椭圆与抛物线,解决这类问题要重视方程思想、函数思想及化归思想的应用【例4】【2016高考北京改编】已知椭圆C:过点A(2,0),B(0,1)两点(I)求椭圆C的方程及离心率;()设P为第三象限内一点且在椭圆C上,直线PA与y轴交于点M,直线PB与x轴交于点N,问:四边形ABNM的面积是否为定值?【答案】();()为定值2【解析】试题分析:()根据两顶点坐标可知a,b的值,则亦知椭圆方程,根据椭圆性质及离心率公式求解;()四边形的面积等于对角线乘积的一半,分别求出对角线的值求乘积为定值即可试题解析:(I)由题意得,所
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