高考第92题 离散型随机变量的期望与方差-高中数学（理）---精校解析 Word版

1、第92题 离散型随机变量的期望与方差I题源探究黄金母题【例1】设随机变量的分布列为1234A B C D则 （ ）【答案】B【例2】已知离散型随机变量的分布列为123则的数学期望 （ ）A B C D【答案】A【解析】，故选A【例3】抛掷两枚骰子，当至少一枚5点或一枚6点出现时，就说这次实验成功，则在100次实验中成功次数X的均值为 【答案】【解析】成功次数服从二项分布，每次试验成功的概率为，在100次试验中，成功次数的期望为精彩解读【试题来源】例1：人教A版选修2-3P68A组T2改编；例2：人教A版选修2-3P64T2改编；例3：人教A版选修2-3P69B组T1改编【母题评析】这类题主要考查离散型随机变量及其分布列、离散型随机变量的期望与方差，考查考生的分析问题解决问题以及基本计算能力【思路方法】1利用离散型随机变量及其分布列的概念、离散型随机变量分布列的性质、离散型随机变量的期望与方差计算公式及其性质解决问题2求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所有取值对应的概率，在求解时，要注意应用计数原理、古典概型等知识3求离散型随机变量的均值与方差关键是确定随机变量的所有可能值，写出

2、随机变量的分布列，正确运用均值、方差公式进行计算注意，的应用II考场精彩真题回放【例1】【2017高考山东理18】在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示（I）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含的频率（II）用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列与数学期望EX【答案】（I）(II)X的分布列为X01234PX的数学期望是【解析】（I）记接受甲种心理暗示的志愿者中包含但不包含的事件为M，则（II）由题意知X可取的值为：0，1，2，3，4则因此X的分布列为X01234PX的数学期望是【例2】【2017高考北京理17】为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药一段时间后，记录了两组患者的生理指标x和y的

3、数据，并制成下图，其中“*”表示服药者，“+”表示未服药者（）从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y的值小于60的概率；（）从图中A，B，C，D四人中随机选出两人，记为选出的两人中指标x的值大于17的人数，求的分布列和数学期望E（）；（）试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小（只需写出结论）【答案】（）03；（）详见解析；（）在这100名患者中，服药者指标数据的方差大于未服药者指标数据的方差【解析】试题分析：（）根据所给数据数出的个数，再除以50就是概率；（）由图可知两人，根据超几何分布写出分布列，并求数学期望；（）方差表示数据的离散程度，波动越大，方差越大，波动小，方差小试题解析：（）由图知，在服药的50名患者中，指标的值小于60的有15人，所以从服药的50名患者中随机选出一人，此人指标的值小于60的概率为所以的分布列为012故的期望（）在这100名患者中，服药者指标数据的方差大于未服药者指标数据的方差【例3】【2017高考天津理16】从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为（）设表示一辆

4、车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量的分布列和数学期望；（）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率【答案】 (1) (2) 【解析】试题分析：表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，的所有可能取值为0，1，2，3分别求出相应的概率值，列出随机变量的分布列并计算数学期望，表示第一辆车遇到红灯的个数，表示第二辆车遇到红灯的个数，这2辆车共遇到1个红灯就是包括第一辆遇到1次红灯且第2辆没遇上和第一辆没遇上红灯且第2辆遇上1次红灯两个事件的概率的和所以随机变量的分布列为0123随机变量的数学期望（）设表示第一辆车遇到红灯的个数，表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为所以这2辆车共遇到1个红灯的概率为【例4】【2017高考新课标3理18】某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：）有关如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶为了确定六月份的

5、订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温10，15）15，20）20，25）天数21636最高气温25，30）30，35）35，40）天数2574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元）当六月份这种酸奶一天的进货量n（单位：瓶）为多少时，Y的数学期望达到最大值？【答案】(1)分布列略；(2) n=300时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520元试题解析：（1）由题意知，所有的可能取值为200，300，500，由表格数据知，因此的分布列为020404由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500，至少为200，因此只需考虑当时，若最高气温不低于25，则，若最高气温位于区间，则；若最高气温低于20，则；因此当时，若最高气温不低于20，则；若最高气温低于20，则；因此所以n=300时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520元【例5】【2017高考江苏23】已知一个口袋有个白球，个黑球()，这些球除颜色外全部相同现将口袋中的球随机的逐个取

6、出，并放入如图所示的编号为的抽屉内，其中第次取出的球放入编号为的抽屉123 （1）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率； （2）随机变量表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，是的数学期望，证明：【答案】（1）；（2）见解析【解析】解：(1)编号为2的抽屉内放的是黑球的概率为：(2)随机变量X的概率分布为：XP随机变量X的期望为：所以【命题意图】这类题经常以频率分布直方图为载体，结合频率与概率，考查离散型随机变量及其分布列的概念、离散型随机变量的期望与方差的计算本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力等【考试方向】这类试题在考查题型上，一般是解答题，难度低中等【难点中心】1求离散型随机变量概率分布列问题首先要清楚离散型随机变量的可取值有那些？当随机变量取这些值时所对应的事件的概率有是多少，计算出概率值后，列出离散型随机变量概率分布列，最后按照数学期望公式计算出数学期望；善于灵活运用两性质：一是；二是检验分布列的正误列出离散型随机变量概率分布列及计算数学期望是理科高考数学必考问题2求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取

7、值，以及取每个值所表示的意义；第二步是“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式(常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等)，求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布（如二项分布），则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式（）求得因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度III理论基础解题原理1离散型随机变量 随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量 随机变量常用字母等表示离散型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量连续型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系：离散型随机变量与连续型随机变量都

8、是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出 若是随机变量，是常数）则也是随机变量 并且不改变其属性（离散型、连续型）2离散型随机变量的分布列概率分布（分布列） 设离散型随机变量可能取的不同值为，的每一个值（）的概率，则称表为随机变量的概率分布，简称的分布列性质：；两点分布如果随机变量的分布列为01则称服从两点分布，并称为成功概率二项分布如果在一次试验中某事件发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是其中，于是得到随机变量的概率分布如下：01kn我们称这样的随机变量服从二项分布，记作，并称p为成功概率判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有三点：对立性：即一次试验中事件发生与否二者必居其一；重复性：即试验是独立重复地进行了次；等概率性：在每次试验中事件发生的概率均相等注：二项分布的模型是有放回抽样；二项分布中的参数是超几何分布01一般地，在含有件次品的件产品中，任取件，其中恰有件次品数，则事件发生的概率为，于是得到随机变量的概率分布如下：其中，我们称这样的随机变量的分布列为超几何分布列，且称随机变量服从超几何分布注：超几何分布的模型是不放回抽样；超几何分布中的参数是其意义分别是总体中的个体总数、N中一类的总数、样本容量4、离散型随机变量的均值与方差离散型随机变量的均值一般地，若离散型随机变量的分布

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