与圆有关的最值问题-高中数学（文）黄金100题---精校解析 Word版

1、第72题 与圆有关的最值问题I题源探究黄金母题【例1】已知圆，直线为任意实数（1）求证：直线恒过定点；（2）判断直线被圆截得的弦何时最长、何时最短？并求截得的弦长最短时的值以及最短长度【答案】（1）；（2），【解析】（1）直线的方程经过整理得由于的任意性，于是有解此方程组，得，即直线恒过定点（2）因为直线恒过圆内一点，所以当直线经过圆心时被截得的弦最长，它是圆的直径；当直线垂直于时被截得的弦长最短由，可知直线的斜率为，故当直线被圆截得的弦长最短时，直线的斜率为2，于是有，解得，此时直线的方程为，即。又，最短弦长为。直线被圆截得的弦最短时的值为，最短长度是。精彩解读【试题来源】人教A版必修2P144B组T6【母题评析】本题考查圆的有关最值问题，考查考生的分析问题、解决问题的能力【思路方法】结合圆的有关几何性质解题II考场精彩真题回放【例2】【2017高考江苏卷】在平面直角坐标系中，点，点在圆上若，则点的横坐标的取值范围是 【答案】【解析】不妨设，则，且易知因为，故所以点在圆上，且在直线的左上方（含直线）联立，得，如图所示，结合图形知故填【例3】【2015高考江苏卷】在平面直角坐标系中，以

2、点为圆心且与直线相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 【答案】【解析】解法一（几何意义）：动直线整理得，则经过定点，故满足题意的圆与切于时，半径最大，从而，故标准方程为解法二（代数法基本不等式）：由题意，当且仅当时，取“”故标准方程为解法三（代数法判别式）：由题意，设，则，解得，【命题意图】本类题主要考查点与圆、直线与圆、圆与圆位置关系，以及考查逻辑思维能力、运算求解能力、数形结合的能力、方程思想的应用【考试方向】这类试题考查根据给定直线、圆方程判断点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系，同时考查通过数形结合思想、充分利用圆的几何性质解决圆的切线、圆的弦长等问题在考查形式上，主要要以选择题、填空题为主，也有时会出现在解答题中，中档题【难点中心】1直线与圆的位置关系的判断方法（1）几何法：由圆心到直线的距离与半径长的大小关系来判断若，则直线与圆相离；若，则直线与圆相切；若，则直线与圆相交（2）代数法2点与圆、圆与圆位置关系的判断方法，类似的也有几何法和代数法两种；3比较圆心距与两个圆的半径和与半径差的大小关系，特别是遇到参数问题时，如何建立等式或不等式是一个难点【例4】【2015高考广东

3、卷】已知过原点的动直线与圆相交于不同的两点，（1）求圆的圆心坐标；（2）求线段的中点的轨迹的方程；（3）是否存在实数，使得直线与曲线只有一个交点？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）由得，所以圆的圆心坐标为；（2）设因为点为弦中点，即，所以，即，所以线段的中点的轨迹的方程为；（3）由（2）知点的轨迹是以为圆心，为半径的部分圆弧（不包括两端点），且，又直线过定点，当直线与圆相切时，由得又，所以当时，直线与曲线只有一个交点III理论基础解题原理考点一 与截距有关的圆的最值问题形如形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题考点二 与斜率有关的圆的最值问题形如形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题考点三 与距离有关的圆的最值问题在运动变化中，动点到直线、圆的距离会发生变化，在变化过程中，就会出现一些最值问题，如距离最小，最大等这些问题常常联系到平面几何知识，利用数形结合思想可直接得到相关结论，解题时便可利用这些结论直接确定最值问题常见的结论有：（1）圆外一点到圆上距离最近为，最远为；（2）过圆内一点的弦最长为圆的直径，最短为该点为中点的

4、弦；（3）直线与圆相离，则圆上点到直线的最短距离为圆心到直线的距离，最近为；（4）过两定点的所有圆中，面积最小的是以这两个定点为直径端点的圆的面积（5）直线外一点与直线上的点的距离中，最短的是点到直线的距离；（6）两个动点分别在两条平行线上运动，这两个动点间的最短距离为两条平行线间的距离考点四 与面积相关的最值问题与圆有关的最值问题，因与平面几何性质联系密切，且与圆锥曲线相结合的命题趋势，使与圆相关的最值问题成为命题宠儿与圆的面积的最值问题，一般转化为寻求圆的半径相关的函数关系或者几何图形的关系，借助函数求最值的方法，如配方法，基本不等式法等求解，有时可以通过转化思想，利用数形结合思想求解IV题型攻略深度挖掘【考试方向】这类试题，通常以选择题或填空题的形式出现，试题难度不大，多为容易题、中档题；若以解答题的形式呈现，则有一定难度【技能方法】1数形结合法处理与圆有关的最值问题，应充分考虑圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，借助数形结合思想求解研究与圆有关的最值问题时，可借助图形的性质，利用数形结合求解常见的最值问题有以下几种类型：形如形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；形如形

5、式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；形如(xa)2(yb)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题2建立函数关系求最值根据题目条件列出关于所求目标函数的关系式，然后根据关系的特点选用参数法、配方法、判别式法等进行求解2利用基本不等式求解最值如果所求的表达式是满足基本不等式的结构特征，如或者的表达式求最值，常常利用题设条件建立两个变量的等量关系，进而求解最值同时需要注意，“一正二定三相等”的验证V举一反三触类旁通考向1 与斜率有关的圆的最值问题【例1】如果直线和函数的图象恒过同一个定点，且该定点始终落在圆的内部或圆上，那么的取值范围是A B C D【答案】C【例2】已知圆，直线上至少存在一点，使得以点为原心，半径为1的圆与圆有公共点，则的最小值是 （ ）A B C D【答案】A【解析】试题分析：因为圆的方程为，整理得，所以圆心为，半径为，又因为直线上至少存在一点，使得以点为圆心，半径为的圆与圆有公共点，所以点到直线的距离小于或等于，所以，化简，解得，所以的最小值是，故选A【跟踪练习】1已知实数x、y满足x2+y2=4，则的最小值为 （ ）A B C D【答案】A

6、2在平面直角坐标系中，圆，圆若圆上存在一点，使得过点可作一条射线与圆依次交于点，满足，则半径的取值范围是_【答案】【解析】由题，知圆的圆心为，半径为5，圆的圆心为，半径为，两圆圆心距为，如图，可知当为圆的直径时取得最大值，所以当点位于点所在位置时取得最小值，当点位于点所在位置时取得最大值因为，所以，3过点的直线与圆：交于两点，为圆心，当最小时，直线的方程是 【答案】: 【解析】：要使最小，由余弦定理可知，需弦长最短要使得弦长最短，借助结论可知当为弦的中点时最短因圆心和所在直线的，则所求的直线斜率为，由点斜式可得【点评】此题通过两次转化，最终转化为求过定点的弦长最短的问题4若圆C：关于直线对称，则由点（a，b）向圆所作的切线长的最小值是_【答案】4【点评】与切线长有关的问题及与切线有关的夹角问题，解题时应注意圆心与切点连线与切线垂直，从而得出一个直角三角形考向2 与截距有关的圆的最值问题【例3】【2017北京海淀模拟】设D为不等式(x-1)2+y21表示的平面区域，直线x+3y+b=0与区域D有公共点，则b的取值范围是_【答案】-3,1或者-3b1【解析】由题设C(1,0)到直线x+3y

7、+b=0的距离d=|1+b|21，解之得-3b1，应填答案-3,1【跟踪练习】1【2017江苏南通高三第三次调研考试】在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0，-2)，点B(1，-1)，P为圆x2+y2=2上一动点，则PBPA的最大值是_【答案】2【解析】设点P（x，y），则PBPA=(x-1)2+(y+1)2x2+(y+2)2=4-2x+2y6+4y=4-2x+2y6+4y=2-x+y3+2y=12(1-1y+32x-12)而y+32x-12表示圆上一点与点(12,-32)的斜率，所以当过点(12,-32)的直线与圆相切时取得最值，设直线：y+32=k(x-12)由d=r得k1=-17,k2=1所以PBPA的最大值时k=-17，故PBPA=12(1+7)=2点睛：首先根据问题将PBPA的表达式列出来，做最值问题的小题，首先得明确问题表达式，然后根据函数或者基本不等式求解最值，本题解题关键在于，写出表达式后要将其化为斜率的定义求法来理解从而求得结论2【2018安徽六安模拟】若直线与曲线恰有三个公共点，则实数的取值范围是 （ ）A B C D思路分析：直线与曲线恰有三个公共点，实数的取值范

8、围，可以转化为直线的图象与曲线的图象有三个交点时实数的取值范围，作出两个函数的图象，通过图象观察临界直线，从而求出的取值范围；本题曲线的图象是易错点，画图时要分类讨论，知图象由椭圆的上一部分与双曲线的上部分组成3【2018湖北稳派教育高三上学期第二次联考】已知圆C的圆心在轴的正半轴上，且轴和直线均与圆C相切(1)求圆C的标准方程；(2)设点，若直线与圆C相交于M，N两点，且为锐角，求实数m的取值范围【答案】（1）；（2）试题解析：（1）设圆C的标准方程为：故由题意得，解得，圆C 的标准方程为：（2）由消去y整理得直线与圆C相交于M，N两点，解得， 设，则依题意得，整理得，解得或又，或故实数m的取值范围是点睛：（1）对于为锐角的问题（或点A在以BC为直径的圆外，或），都可转化为，然后坐标化，转化为代数运算处理（2）对于直线和圆位置关系的问题，可将直线方程和圆的方程联立消元后根据所得的二次方程的判别式、根据系数的关系，借助于代数运算处理解题时注意“设而不求”、“整体代换”等方法的运用，以减少计算量、提高解题速度考向3 与距离有关的圆的最值问题【例4】【2018广西南宁模拟】在平面直角坐标系中，已知，则的最小值为（ ）A B C D【答案】B【跟踪练习】1【2018江西赣州红色七校一联】已知圆C：x2+y2-2ax-2by+a2+b2-1=0（a0）的圆心在直线3x-y+3=0 上，且圆C上的点到直线3x+y=0的距离的最大值为1+3，则a2+b2的值为（ ）A1 B2 C3 D4【答案】C【解析】圆的方程为(x-a)2+(x-b)2=1 ，圆心为(a,b),3a-b+3=0,b=3(a+1

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