数学(理)二轮教案:专题提能五解析几何综合问题中优化运算的提能策略---精校解析 Word版
18页1、解析几何综合问题中优化运算的提能策略授课提示:对应学生用书第57页提分策略一利用图形性质、直观运算充分利用图形的结构、性质,直观地运算可有效降低运算量,从而提高运算效率(2018江西名校联考)如图,抛物线C:x22px(p0)的焦点为F(0,1),取垂直于y轴的直线与抛物线交于不同的两点P1,P2,过P1,P2作圆心为Q的圆,使抛物线上其余点均在圆外,且P1QP2Q.(1)求抛物线C和圆Q的方程;(2)过点F作直线l,与抛物线C和圆Q依次交于点M,A,B,N,求MNAB的最小值解析:(1)因为抛物线C:x22py(p0)的焦点为F(0,1),所以1,解得p2,所以抛物线C的方程为x24y.由抛物线和圆的对称性,可设圆Q:x2(yb)2r2,由题意知抛物线C与圆Q相切,由得y2(2b4)yb2r20,所以(2b4)24(b2r2)0,有4b4r2.又由P1QP2Q,得P1QP2是等腰直角三角形,所以P2,代入抛物线方程有4b2r,联立解得r2,b3,所以圆Q的方程为x2(y3)28.(2)由题知直线l的斜率一定存在,设直线l的方程为ykx1,圆心Q(0,3)到直线l的距离为d,所以AB2
2、4.由得y2(24k2)y10.设M(x1,y1),N(x2,y2),则y1y24k22,由抛物线定义知MNy1y224(1k2)所以MNAB16(1k2),设t1k2(t1),则MNAB16t1616(t1),所以当t1,即k0时,MNAB有最小值16.点评本题四处运用了降低运算量、提高运算效率的方法,巧妙地避开了烦琐的运算,最终顺利地解决了问题其中前三个都是基于图形结构,直观地运算在解析几何问题中,善于运用如下平面几何图形的性质,常可大幅度降低运算量:(1)线段的垂直平分线:已知线段AB,动点P满足PAPB点P在线段AB的垂直平分线上(2)三角形:三角形的两边之和大于第三边,两边之差小于第三边;等腰三角形的两底角相等,且两底角必为锐角;三角形的中位线平行且等于底边的一半(3)四边形:对角线互相垂直的四边形的面积等于两对角线之积的一半;平行四边形的对角线互相平分(反之也行);菱形的对角线互相平分且互相垂直(反之也行);矩形的对角线互相平分且相等(反之也行)对点训练已知椭圆C:1(ab0)的离心率为,且椭圆C上的点到一个焦点的距离的最小值为.(1)求椭圆C的方程;(2)已知过点T(0,
3、2)的直线l与椭圆C交于A,B两点,若在x轴上存在一点E,使AEB90,求直线l的斜率k的取值范围解析:(1)设椭圆的半焦距长为c,则由题设有:解得:a,c,b21,故椭圆C的方程为x21.(2)由已知可得,以AB为直径的圆与x轴有公共点设A(x1,y1),B(x2,y2),AB中点为M(x0,y0),将直线l:ykx2代入x21,得(3k2)x24kx10,12k212,x0,y0kx02,|AB|,解得:k413,即k或k.提分策略二借用已算、同理推算解析几何中存在不少类似的问题,这些问题只需算好一部分,然后作类似的推算与替换即可得到另一部分的结果(2018衡水中学模拟)在平面直角坐标系中,定点F1(1,0),F2(1,0),动点P与两定点F1,F2距离的比是一个正数m.(1)求点P的轨迹方程C,并说明轨迹是什么图形;(2)若m,过点A(1,2)作倾斜角互补的两条直线,分别交曲线C于P,Q两点,求直线PQ的斜率解析:(1)设P(x,y),由题意知m(m0),即|PF1|m|PF2|,故m.即(m21)(x2y2)2(m21)xm210.当m1时,点P的轨迹方程为x0,表示直线x0(
4、或线段F1F2的垂直平分线为y轴);当m1时,点M的轨迹方程为x2y22x10,即2y2,表示圆心为,半径是的圆(2)当m时,由(1)得曲线C:(x3)2y28.易知直线AP,AQ的斜率存在,所以设直线AP:y2k(x1),P(x1,y1),则直线AQ:y2k(x1),Q(x2,y2)联立得(1k2)x2(2k24k6)xk24k50,故1x1,即x1,此时y1kx12k.同理可得x2,此时y2kx22k.故kPQ.将x1,x2代入得kPQ1.点评由于求点P与Q坐标的方法是相同的,差别只是将k换为k,于是只需将x1中的k替换为k即可得到x2.这样就很好地避免了不必要的重复运算,提高了运算的效率对点训练(2018石家庄调研)已知抛物线C1:x22py(p0),点A到抛物线C1的准线的距离为2.(1)求抛物线C1的方程;(2)过点A作圆C2:x2(ya)21的两条切线,分别交抛物线于M,N两点,若直线MN的斜率为1,求实数a的值解析:(1)由抛物线定义可得2,所以p2,故抛物线C1的方程为x24y.(2)设直线AM,AN的斜率分别 为k1,k2,将lAM:y1k1(x2)代入x24y可得x
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