高考第92题 直接证明与间接证明-高中数学（文）---精校解析 Word版

1、第92题 直接证明与间接证明I题源探究黄金母题【例1】证明不等式所用的最适合的方法是 （ ）A综合法 B分析法 C间接证法 D合情推理法【答案】B【解析】欲证明不等式，只需证，只需证，只需证，故选B【例2】求证：对于任意角，【证明】，原式成立【例3】设实数成等差数列，非零实数分别为与与的等差中项，试证：【证明】甴已知条件得， 要证，只要证，只要证由得，命题成立精彩解读【试题来源】例1：人教A版选修1-2P44练习T2改编；例2：人教A版选修1-2P44练习T1；例3：人教A版选修1-2P46习题22B组T2【母题评析】这类题主要考查直接证明的方法综合法和分析法，间接证明的方法反证法，它常以立体几何中的证明及相关选修中的不等式证明为载体加以考查，关注学生的分析问题、解决问题以及推理论证能力的考查【思路方法】1直接从条件出发证明结论思路受阻时，可以考虑利用逆推法来求解结论成立的充分条件即可，直到化简成为恒等式或与条件相符的式子为止2利用重要的不等式证明不等式是综合法的一种重要应用，证明思路是从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理最后转化为需证问题若

2、不等式恒等变形之后若与二次函数有关，可用配方法II考场精彩真题回放【例1】【2017高考新课标2文23】已知证明：（1）；（2）【答案】(1)证明略；(2)证明略【解析】试题分析：(1)第一问展开所给的式子，然后结合题意进行配方即可证得结论；(2)第二问利用均值不等式的结论结合题意证得即可得出结论试题解析：(1)(2)，因此【例2】【2017高考江苏21D】已知为实数，且证明【答案】见解析【解析】由柯西不等式可得，即，故【考点】柯西不等式【名师点睛】柯西不等式的一般形式：设为实数，则，当且仅当或存在一个数，使时，等号成立【例3】【2017高考北京文18节选】如图，在三棱锥PABC中，PAAB，PABC，ABBC，PA=AB=BC=2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点（）求证：PABD；（）求证：平面BDE平面PAC；（）当PA平面BDE时，求三棱锥EBCD的体积【答案】详见解析【解析】证明：（） ，平面，平面，且，平面，平面，；（），是的中点，由（）知平面，平面，平面平面，平面平面，平面，平面，平面，平面平面【命题意图】这类题主要考查直接证明的方法综合法和分析法，间接证明的方法反

3、证法，它常以立体几何中的证明及相关选修中的不等式证明为载体加以考查，关注学生的分析问题、解决问题以及推理论证能力等的考查【考试方向】这类试题在考查题型上，若以选择题或填空题的形式出现，为容易题；若以解答题的形式出现，这难度较大【难点中心】1分析法和综合法各有优缺点分析法思考起来比较自然，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁；综合法从条件推出结论，较简捷地解决问题，但不便于思考实际证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法叙述出来2当一个命题的结论是以“至多”、“至少”、“唯一”或以否定形式出现时，可用反证法来证，反证法关键是在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是与已知条件矛盾，与假设矛盾，与定义、公理、定理矛盾，与事实矛盾等用反证法证明不等式要把握三点：必须否定结论；必须从否定结论进行推理；推导出的矛盾必须是明显的3线线、线面的平行与垂直位置关系的证明是高考的重点内容，而其中证明线面垂直又是重点和热点，要证明线面垂直，根据判断定理转化为证明线与平面内的两条相交直线垂直，而其中证明线线垂直又得转化为证明线面垂直线线垂直，或是根据面面垂直，平面内的线垂直于交线，

4、则垂直于另一个平面，这两种途径都可以证明线面垂直III理论基础解题原理直接证明与间接证明（1）综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立框图表示： 要点：顺推证法；由因导果（2）分析法：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止框图表示： 要点：逆推证法；执果索因（3）反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立的证明方法它是一种间接的证明方法用反证法证明命题“若则”的过程用框图表示为：IV题型攻略深度挖掘【考试方向】这类试题在考查题型上，若以选择题或填空题的形式出现，为容易题；若以解答题的形式出现，这难度较大【技能方法】1分析法的适用范围：分析法是逆向思维，当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接，或证明过程中需要用到的知识不太明确、具体时，往往采用分析法，特别是含有根号、绝对值的等式或不等式，从正面不易推导时，常考虑用分析法2用综合法证题是从已知条件出发，逐步推向结论，综合法

5、的适用范围是：（1）定义明确的问题，如证明函数的单调性、奇偶性，求证无条件的等式或不等式等（2）已知条件明确，并且容易通过分析和应用条件能逐步逼近结论的题型3对于较复杂的问题，我们常常把分析法与综合法结合起来使用：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论若由可以推出成立，就可以证明结论成立，这种方法称为分析综合法4反证法证明一个命题的一般步骤：（1）（反设）假设命题的结论不成立；（2）（归谬）根据假设进行推理，直到导出矛盾为止；（3）（下结论）断言假设不成立，从而肯定原命题的结论成立【易错指导】（1）逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件，正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键；（2）用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证（欲证）”“即要证”“就要证”等分析到一个明显成立的结论（3）利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误，并用假设命题进行推理，没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的V举一反三触类旁通考向1 分析法【例1】若，则的大小关系是A BC D由的取值确定【答案】

6、C【例2】【2018河南豫西名校高二下学期第一次联考】当时，证明：【证明】要证，即证，只要证，即证 ，即证，只要证 ，而上式显然成立，所以 成立【例3】已知，且，试用分析法证明不等式成立【解析】要证，只需证，只需证，只需证，即证或，而由，可得显然成立，所以不等式成立【名师点睛】分析法的思路是逆向思维，用分析法证题必须从结论出发，倒着分析，寻找结论成立的充分条件应用分析法证明问题时要严格按分析法的语言表达，下一步是上一步的充分条件【跟踪练习】1【2018陕西省黄陵中学高二下学期期末考试】分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使结论成立的（）A充分条件 B必要条件 C充要条件 D等价条件【答案】A【解析】由分析法的定义：“一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止，这种证明方法叫做分析法”可知A答案是正确，故选A2用分析法证明：当，时，【证明】要证不等式成立，只需证成立，即证：成立，即证：成立，即证：成立，因为所以，所以原不等式成立3当时，求证：【证明】要证，只需证，即证，只需证，故得证令，

7、则，即，则，从而考向2 综合法【例4】【2018西藏山南地区第二高级中学高三下学期期中考试】以下是解决数学问题的思维过程的流程图：在此流程图中，、两条流程线与“推理与证明”中的思维方法匹配正确的是（ ）A分析法，反证法 B分析法，综合法C综合法，反证法 D综合法，分析法【答案】D故本题正确答案为D点晴：本题考查的是综合法和分析法的概念一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法；一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）这种证明的方法叫做分析法【例5】【2018河南郑州一中高三考前冲刺三】已知a，b，c均为正数（1）求证：；（2）若，求证：【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】，当且仅当时，等号成立（2）=34+24+18+24=100当且仅当a=3b=9c，且a+4b+9c=1时，等号成立，即当且仅当时，原式取等号【例6】【2018安徽太和中学高三下学期第三次月考】在中，用综合法证明：是的充分不必

8、要条件【答案】见解析【解析】试题分析：先由正弦定理将角的关系转化为边的关系：，去分母整理得再由余弦定理得，根据基本不等式可得，即得，因此充分性成立，而必要性不成立，只需举一个反例，如3，4，5构成的三角形，3对应的角B满足，但不满足试题解析：，而不可逆，故是的充分不必要条件【名师点睛】1综合法证题的一般思路：综合法是“由因导果”的证明方法，它是一种从已知到未知（从题设到结论）的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断（命题）出发，经过一系列中间推理，最后导出所要求证结论的真实性其逻辑依据是三段论式的演绎推理，这就要保证前提正确，推理合乎规律，才能保证结论的正确性2解决数列综合题常见策略有：（1）关注数列的通项公式，构造相应的函数，考察该函数的相关性质（单调性、值域、有界性、切线）加以放缩；（2）重视问题设问的层层递进，最后一小问常常用到之前的中间结论；（3）数学归纳法【跟踪练习】1在中，已知ABC的面积为，外接圆的半径为1，三边长分别为求证：【答案】见解析试题解析：设外接圆的半径为，的面积为，且不全相等，否则与矛盾，又，不全相等，上述三式中“=”不能同时成立，即因此2已知函数（1）当时，证明：当时，；（2）当时，证明：（2），令，时，时，即在上为减函数，在上为增函数，令，时，时，即在上为减函数，在上为增函数，由得3【2018浙江省高三上学期高考模拟】设函数，证明：（1）；（2）【答案】（1）详见解析；（2）详见解析【解析】试题分析：（1）构造函数，对求导，利用导数证明即可得证；（2）求导，判断出函数的单调性，求出函数的极值与最值后即可得证试题解析：（1）记，则，在区间上单调递增，又，从而；（2），记，由，知存在，使得，在上是增函数，在区间上是单调递减，在区间上单调递增，又，从而，另一方面，由（1）得当时，且，故考向3

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