高考专题 利用导数解决应用问题中的优化问题-高中数学(文)黄金100题---精校解析Word版
34页1、第 28题 利用导数解决应用问题中的优化问题I题源探究黄金母题【例1】用长为18 m的钢条围成一个长方体形状的框架,要求长方体的长与宽之比为2:1,问该长方体的长、宽、高各为多少时,其体积最大?最大体积是_【解析】设长方体的宽为xm,则长为2xm,高故长方体的体积为从而令,解得x=0(舍去)或x=1,因此x=1当0x1时,0;当1x时,0,故在x=1处V(x)取得极大值,并且这个极大值就是V(x)的最大值从而最大体积V3(m3),此时长方体的长为2 m,高为15 m用函数表示的数学问题优化问题用导数解决数学问题优化问题的答案答:当长方体的长为2 m时,宽为1 m,高为15 m时,体积最大,最大体积为3 m3【例2】圆柱形金属饮料罐容积一定时,它的高与半径应怎样选择,才能使所用材料最省?【答案】当罐高与底面直径相等时,所用材料最省【解析】设圆柱的高为,底半径为,则表面积由,得,因此令,解得当时,;当时,因此,是函数的极小值,也是最小值点此时,答:当罐高与底面直径相等时,所用材料最省【例3】已知某商品进价为元/件,根据以往经验,当售价是元/件时,可卖出件市场调查表明,当售价下降10%时,销
2、量可增加40%现决定一次性降价,销售价为多少时,可获得最大利润?【答案】销售价为元/件时,可获得最大利润【解析】设销售价为元/件时,利润令,解得当时,;当时,因此,是函数的极小值,也是最小值点所以,销售价为元/件时,可获得最大利润答:销售价为元/件时,可获得最大利润精彩解读【试题来源】例1是人教版A版选修1-1P104习题34A组T1改编题例2:人教版A版选修1-1P104习题34A组T3;例3:人教版A版选修1-1P105习题34B组T2【母题评析】导数在实际中的应用是高中数中常见的一类典型问题,这类题主要考查如何利用导数解决利润最大问题、面积(体积)最大问题、成本最小问题、用料最省问题等这类试题在考查题型上,通常以解答题的形式出现,难度中等【思路方法】解决优化问题的基本思路:II考场精彩真题回放【例1】【2015高考陕西理16】如图,一横截面为等腰梯形的水渠,因泥沙沉积,导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线表示),则原始的最大流量与当前最大流量的比值为 【答案】【解析】建立空间直角坐标系,如图所示:原始的最大流量是,设抛物线的方程为(),因为该抛物线过点,所以,解得,所以,即,所以
3、当前最大流量是,故原始的最大流量与当前最大流量的比值是,所以答案应填:【例2】【2016高考江苏17】现需要设计一个仓库,它由上下两部分组成,上部分的形状是正四棱锥,下部分的形状是正四棱柱(如图所示),并要求正四棱柱的高是正四棱锥的高的4倍(I)若则仓库的容积是多少?(II)若正四棱柱的侧棱长为6m,则当为多少时,仓库的容积最大?【答案】(I)312;(II)【解析】(I)由已知,得,故,故仓库的容积为;(II)解法1:设,仓库的容积为,则,当时,单调递增;当时,单调递减,因此,当时,取到最大值,即时,仓库的容积最大解法2:设,则连结因为在中,即 于是仓库的容积,从而令,得 或(舍)当时,是单调增函数;当时,是单调减函数故时,取得极大值,也是最大值因此,当 时,仓库的容积最大【例3】【2015高考江苏17】某山区外围有两条相互垂直的直线型公路,为进一步改善山区的交通现状,计划修建一条连接两条公路的山区边界的直线型公路,记两条相互垂直的公路为,山区边界曲线为C,计划修建的公路为l,如图所示,M,N为C的两个端点,测得点M到的距离分别为5千米和40千米,点N到的距离分别为20千米和25千米
4、,以所在的直线分别为x,y轴,建立平面直角坐标系xOy,假设曲线C符合函数(其中a,b为常数)模型 MNl2l1xyOCPl(I)求a,b的值;(II)设公路l与曲线C相切于P点,P的横坐标为t请写出公路l长度的函数解析式,并写出其定义域;当t为何值时,公路l的长度最短?求出最短长度【答案】(I);(II)定义域为,千米【解析】(I)由题意知,点,的坐标分别为,将其分别代入,得,解得(II)由(I)知,(),则点的坐标为,设在点处的切线交,轴分别于,点,则的方程为,由此得,故,设,则令,解得当时,是减函数;当时,是增函数从而,当时,函数有极小值,也是最小值,所以,此时答:当时,公路的长度最短,最短长度为千米【例4】【2013高考重庆文20】某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)设该蓄水池的底面半径为米,高为米,体积为立方米假设建造成本仅与表面积有关,侧面积的建造成本为100元/平方米,底面的建造成本为160元/平方米,该蓄水池的总建造成本为12000元(为圆周率)()将表示成的函数,并求该函数的定义域;()讨论函数的单调性,并确定和为何值时该蓄水池的体积最大【解析】(I)因为蓄
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