届高三数学平面向量的基本定理
34页1、,第九节 平面向量的基本定理及坐标表示,1两个向量的夹角 (1)定义,已知两个非零向量a和b,作 b,则AOB=叫做向量a与b的夹角 (2)范围 向量夹角的范围是 ,a与b同向时,夹角=0;a与b反向时,夹角= . (3)向量垂直 如果向量a与b的夹角是 ,则a与b垂直,记作ab.,90,0180,180,2平面向量基本定理及坐标表示 (1)平面向量基本定理 定理:如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a, 一对实数1,2,使a = . 其中,不共线的向量e1,e2,叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 (2)平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个 的向量,叫做把向量正交分解,互相垂直的,有且只有,1e12e2.,(3)平面向量的坐标表示 在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底,对于平面内的一个向量a,有且只有一对实数x,y,使axiyj,把有序数对 叫做向量a的坐标,记作a ,其中x叫做a在x轴上的坐标, 叫做a在y轴上的坐标 设 xiyj,则向量 的坐标(x,y)就是终点A的坐标,即若 (x,y),则A点坐标为
2、 ,反之亦成立(O是坐标原点),(x,y),(x,y),y,(x,y),3平面向量的坐标运算 (1)加法、减法、数乘运算,(2)向量坐标的求法 已知A(x1,y1),B(x2,y2),则 ,即一个向量的坐标等于 ,(x1,y1),(x2x1,y2y1),该向量终点的坐标减去始点的坐标,(x1x2,y1y2),(3)平面向量共线的坐标表示 设a(x1,y1),b(x2,y2),其中b0,则a与b共线ab 0.,1已知a(4,2),b(x,3),且ab,则x等于( ) A9 B6 C5 D3 【解析】 ab,122x0,x6 【答案】 B,x1y2x2y1,A(1m,7n) B(1m,7n) C(1m,7n) D(1m,7n),【答案】 B,3已知两点A(4,1),B(7,3),则与 同向的单位向量是( ),【答案】 A,4下列各组向量: e1(1,2),e2(5,7); e1(3,5),e2(6,10); e1(2,3),e2 . 其中,能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是_(填序号),【解析】 中e22e1,中e14e2,故,中e1,e2共线,不能作为表示它们所在平面内所有向量的
3、基底 【答案】 ,5已知a(2,3),b(1,2),则ab所在直线的斜率为_ 【解析】 ab(1,5),则ab所在直线的斜率为5. 【答案】 5,如图,在平行四边形ABCD中,M,N分别为DC,BC的中点,已知 ,试用c,d表示 .,【方法点评】 1.以平面内任意两个不共线的向量为一组基底,该平面内的任意一个向量都可表示成这组基底的线性组合,基底不同,表示也不同 2对于两个向量a,b,将它们用同一组基底表示,我们可通过分析这两个表示式的关系,来反映a与b的关系 3利用已知向量表示未知向量,实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算或进行数乘运算 【特别提醒】 由于基底向量不共线,所以0不能作为一个基底向量,1.,已知A(2,4),B(3,1),C(3,4),(1)求:3ab3c; (2)求满足ambnc的实数m,n; (3)求M、N的坐标及向量 的坐标 【思路点拨】 利用向量的坐标运算及向量的坐标与其起点、终点坐标的关系求解 【自主探究】 由已知得a(5,5),,b(6,3),c(1,8) (1)3ab3c 3(5,5)(6,3)3(1,8) (1563,15324) (
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