lry-偏微分方程的推导
34页1、1,第2章 偏微分方程 2.1引言,2,方程的阶数:方程中出现的偏导数的最高阶数。 线性方程:方程经过有理化并消去分式后,若方程中没有未知函数及其偏导数的乘积或幂等非线性项。 非线性方程:方程经过有理化并消去分式后,若方程中有未知函数及其偏导数的乘积或幂等非线性项。 拟线性方程:在非线性方程中,若仅对未知函数的所有最高阶导数是线性的。,3,自由项:在线性方程中,不含未知函数及其偏导数的项。 齐次方程:自由项为零。 非齐次方程:自由项不为零。,一阶、线性、非齐次,二阶、拟线性、齐次,二阶、非线性、非齐次,4,5,结论:,偏微分方程的通解包含有任意函数,或者说其通解形式是不确定的。 因此解偏微分方程,一般不是先求通解,后由定解条件确定特解(只有少数情况例外),而是直接求特解。 一个特定形式的偏微分方程可以描述许多物理现象的共性规律,它可以有很多不同形式的特解。所以可称为泛定方程。,6,2.2二阶偏微分方程的分类,7,8,9,10,2.3 基本方程的导出,泛定方程的建立也就是把物理规律“翻译”成数学物理方程。 微元法:先选择表示系统运动状态的物理量,再任取体系中的一个小部分,分析这一部分所受
2、的作用,以及它在物理规律的支配下所引起的运动变化情况,导出泛定方程。,一、弦的横振动方程,几个条件:,均匀细绳:为常数,作为一维空间来处理(细绳); 轻绳:忽略重力影响; 柔软:横截面方向上无应力(无切变力),张力沿弦切线; 微小振动:弦切线与x轴夹角0或; 横向振动:弦上各点的振动方向垂直于振动的传播方向.,11,设弦的平衡状态沿x方向,且在同一平面振动.,由于是微振动:,12,根据牛顿第二定律:,13,弦的自由横振动方程,或写成:,14,受迫振动情况:,力密度F (x,t):单位长度的弦所受的横向外力.,15,单位质量的弦所受的横向外力,16,(二)热传导方程,热传导:由于温度不均匀,热量从温度高向温度低的地方转移. 热流通量:单位时间内通过单位横截面积的热量. 实验结果:,哈密顿算符,k导热系数,17,为系统(x,y,z)点在t时的温度,单位时间沿x方向流入小六面体的热量:,单位时间沿x方向流出小六面体的热量:,单位时间沿x方向净流入小六面体的热量:,18,同理,单位时间内沿y, z方向净流入小六面体的热量分别是:,单位时间内沿x, y, z方向净流入小六面体的总热量分别是:,1
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