(理想流体动力学5-8)

1、第五节 空间势流,一、空间势流的势函数,二、轴对称流动的流函数,四、圆球绕流,五、轴对称体绕流,三、几个基本轴对称流动的流函数,一、空间势流的势函数,势函数与速度之间的关系式为：,将上述等式代入不可压缩流体的连续性方程：,得到势函数的拉普拉斯方程：,边界条件： 物面上 无穷远处,1、空间均匀流,建立直角坐标系(x, y, z)，设无穷远来流速度v 与z轴平行，则速度分量为：,势函数为：,如换成柱坐标系（r, , z）和球坐标系(R,) ，则,http:/ http:/ http:/ http:/ http:/ http:/ http:/ http:/ http:/ http:/ http:/ http:/ http:/ http:/ http:/ http:/ http:/ http:/ http:/www.xunchi- http:/ http:/ http:/ http:/ http:/ http:/ http:/ http:/ http:/ http:/www.51xiu.org/ http:/ http:/ http:/ http:/ http:/ http:/ y=rsin

2、z=z,柱坐标系(r,z)与直角坐标系(x,y,z)的转换关系：,球坐标系(R,)与直角坐标系(x,y,z)的转换关系： x=Rsincos y=Rsinsin z=Rcos,2、空间点源（点汇）,建立球坐标系(R,) ，在坐标原点处放置一个 空间点源（点汇），流量为q，则速度分量为：,由于球坐标系下势函数的梯度公式为：,对应方向的单位矢量,得到,因此,3、空间偶极子,依据势流叠加原理，P点处的势函数为,满足下面关系式才能构成偶极子流，即,M为常数，称为偶极子的强度或偶极矩,偶极子的势函数为：,二、轴对称流动的流函数,轴对称流动：指流体在过某空间固定轴的所有平面上的运动情况完全相同的流动。 因此，只需要研究其中一个平面上的流动就可以知道整个空间内流体的运动情况。 常见的轴对称流动有：圆管流动、沿轴向流经回转体的流动、水轮机叶轮内的流动。,1、柱坐标系(r, , z)的流函数 (r, z),柱坐标系中，不可压缩流体轴对称流动的连续性方程为：,定义流函数 (r, z)，满足,2、球坐标系(R,)的流函数 (R,),球坐标系中，不可压缩流体轴对称流动的连续性方程为：,定义流函数 (R, )，

3、满足,3、流函数的性质,1）等流函数线就是流线；,2）在通过包含对称轴线的流动平面上，任意两点的流函数值之差的2倍，等于通过这两点间的任意连线的回转面的流量。,证明：,通过回转面的流量为,因为,所以,三、几个基本轴对称流动的流函数,1、均匀流,有一速度为v的空间均匀流，取z轴为流动方向，在球坐标系(R,)中为一轴对称流动，流动参数与无关。,式对R积分，得到,将上式对求导，得到,与式比较，得到 ，即,令 ，最终空间均匀流的势函数为,2、空间点源（点汇）,设在坐标原点有一点源，强度为q。空间点P (R,)的速度矢量为,积分得到,3、空间偶极子,空间偶极子的势函数为,积分得到,四、圆球绕流,奇点法：通过将简单势流如均匀流、点源（汇）、偶极子等进行叠加来处理较复杂的势流问题的方法。,零流线方程为：,球面方程,球面的半径,偶极子的强度,因此，流函数为,势函数为,流场中速度分布为,球面上（R=a）的速度分布为,当=0，时，vR=0, v=0，即A、B两点为驻点。,圆球绕流的表面速度的最大值,圆柱绕流的表面速度的最大值,球面压强分布，由伯努利方程求出,压强系数,压强对称分布，因此球面所受的合力为零。

4、,五、轴对称体（回转体）绕流,依然采用奇点法分析，需要寻找适当的基本势流，使之与均匀流叠加后的势函数和流函数能满足物面和无穷远处的边界条件。,建立柱坐标系(r,z)，流动参数与无关。 在对称轴的OA段上连续布置源（汇），设单位长度上的源（汇）强度为q()，则微元段d的强度为,q0，表示源 q0，表示汇,微元段d的源（汇）在P点处的势函数和流函数分别为,整个OA段的源（汇）在P点处的势函数和流函数分别为,均匀流在P点处的势函数和流函数分别为,势流叠加后的流场的势函数和流函数分别为,现需要确定q()使得上述函数满足物面和无穷远处的两个边界条件。其中，由于无穷远处源（汇）的速度为零，自动满足无穷远处边界条件，而要满足物面边界条件，需进行计算。,方法1：,物面上的流函数值等于零，即,求解方程,用数值方法将积分表达式转换为代数式求近似解。,方法2：,因为,有,同样，利用数值解法求近似解。,当源（汇）强度q()确定后，就可以得到势函数、流函数，继而计算出任意轴对称的零攻角绕流场的速度分布和压强分布。,第六节 理想流体的旋涡运动,如流体微团的旋转角速度0，则是有旋运动，也称为旋涡运动。 理想流体的流

5、动可以是有势的，也可以是有旋的。但粘性流体的流动一般是有旋的。 第六-八节讲述理想不可压缩流体的旋涡运动，涉及的基本概念及定理有：涡线、涡管和涡束；涡通量和速度环量；斯托克斯定理；汤姆逊定理；亥姆霍兹定理；毕奥-沙伐尔公式；卡门涡街。,一、涡线、涡管和涡束 1. 涡 线 定义：涡线是旋涡场中一条曲线，曲线上各点处 的旋转角速度矢量都与这一曲线相切。 涡线的微分方程：,2. 涡 管 定义：在旋涡场中取一非涡线的闭曲线，通过这 一闭曲线上每点作涡线，这些涡线形成了一封闭 管状曲面，称为涡管。 与涡管垂直的断面 称为涡管断面。 微小断面的涡管称为 微元涡管。,3. 涡 束,涡管内充满着作旋转运动的流体称为涡束，微元涡管里的涡束称为微元涡束。,表征速度场和旋涡场的常用概念,涡通量J (旋涡强度) 微元涡管内的涡通量:,二、涡通量和速度环量,如果把旋转角速度比拟成速度，通过曲面的涡通量与 通过一曲面的流量相类似。,非涡管断面,通过任一有限曲面的涡通量为：,2. 速度环量 定义：某一瞬时在流场中取任意封闭曲线，在曲线上取一微元线段 ，速度 在 的切线上的分量沿闭曲线的线积分，即为沿该闭曲线的速度环

6、量。,一、斯托克斯定理,第七节 理想流体旋涡运动 的基本定理,斯托克斯（Stokes）定理: 沿封闭曲线的速度环量等于该封闭曲线内所有涡通量的和。,该定理将速度场和旋涡场之间联系起来。,证明：,先证明微元封闭曲线的斯托克斯定理。,证明了微元封闭曲线的斯托克斯定理，即沿微元封闭曲线的速度环量等于通过该曲线所包围的面积的涡通量。,再证明此定理适用于有限大封闭曲线所包围的单连通域。,可将斯托克斯定理推广至空间单连通区域。,对于复连通区域，需要做一些变换。,因为,得到,由斯托克斯定理，有,复连通区域的斯托克斯定理可以描述为：通过复连通域的涡通量等于沿这个区域的外周线的速度环量与所有内周线的速度环量总和之差。,例 试证明均匀流的速度环量等于零。,证明：,流体以等速度v水平方向流动，首先求沿 矩形封闭曲线的速度环量,其次求圆周线的速度环量,同样可以证明均匀流沿任何其它形状的封闭曲线的速度环量等于零。,二、汤姆逊定理和亥姆霍兹定理,流体线： 在流场中任意指定的一段线，该线段在运动过程中始终是由同样的流体质点所组成。,研究旋涡的随体变化规律的途径,直接研究涡通量的随体变化规律,先直接研究速度环量的随体

7、变化规律，然后由斯托克斯定理求出涡通量的随体变化规律,stokes,1、汤姆逊（Thomson）定理,正压的理想流体在有势质量力的作用下沿任何封闭流体线的速度环量不随时间变化， 即 。,证明：,流体线,式积分为：,理想流体的运动微分方程为：,式积分：,质量力有势,因此,正压流体，定义压力函数,有,因为v、W、P均是时间空间坐标的单值连续函数,速度环量是常数，就证明了汤姆逊定理。,汤姆逊定理得出结论：对于理想的正压流体，在有势质量力作用下，旋涡不生不灭。,汤姆逊定理的应用平面翼型起动涡的问题。,1） 亥姆霍兹第一定理 在同一时刻，通过涡管任意断面的涡通量相同。,2、亥姆霍兹（Helmholtz）定理,包括了三个基本定理，说明了旋涡的基本性质。,证明：,在涡管表面形成一空间封闭曲线ABBAA,因为,所以,说明沿包围涡管任一断面封闭曲线的速度环量等于零。再由斯托克斯定理，这些速度环量都等于穿过这些封闭曲线所包围的断面的涡通量，因此，涡管各断面上的涡通量都相同，即,亥姆霍兹第一定理说明涡管在流体中既不能开始，也不能终止。,涡管在流体中存在的形式：,a. 首尾相连，形成封闭的涡环或涡圈；,b.

8、两端可以终止于边壁上（固体壁面或自由面）,2）亥姆霍兹第二定理 正压的理想流体在有势质量力作用下，组成涡管的流体质点将始终组成涡管（涡管永远保持为由相同流体质点所组成）。,沿这一闭曲线为边界的曲面的涡通量也将为0，表明这一曲面仍然是涡管表面的一部分，即构成涡管表面的流体质点始终构成涡管表面。,证明：,在图中的涡管表面取一闭曲线K，沿曲线K的速度环量为0。,由汤姆逊定理，相同流体质点构成的封闭曲线的环量不变化，仍然是0。,3）亥姆霍兹第三定理：,正压的理想流体在有势质量力作用下，涡管 强度不随时间而变化。,证明：,作任意封闭曲线L包围涡管，根据斯托克斯定理，沿曲线L的速度环量等于通过该曲线所围面积的涡通量。,根据汤姆逊定理，速度环量不随时间变化，因此，涡管的旋涡强度不随时间变化。,结论：,汤姆逊定理和亥姆霍兹三个定理完整地描述了旋涡运动规律：正压理想流体在有势质量力作用下，组成涡线和涡管的流体始终组成涡线和涡管，在运动过程中，涡管强度保持不变。,应注意：上述运动规律的适应性以及实际流体的运动情况。,第八节 旋涡的诱导速度,背景：旋涡集中于一条曲线附近的区域，该区域以外流场是无旋的，可认为旋涡集中分布在断面积为A的涡管内，涡管外形成诱导速度场。,计算诱导速度借用电磁场的比奥-沙伐尔公式：,磁场强度,电流强度,强度为的任意形状涡束对于任意点P的诱导速度为：,速度方向由右手法则确定。,长度为l的任意形状涡束对于任意点P的诱导速度为：,点P到dl的距离,一、直线涡束的诱导速度,直线涡束AB在P点产生的诱导速度为：,半无限长涡束：,无限长涡束：,二、平面涡层的诱导速度,在无限流场中布置一涡列，这一涡列由多个无限长涡束无间隔地直线排列而

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