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概率论与数理统计-第五章大数定律及中心极限定理

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1、引言,迄今为止,人们已发现很多大数定律(laws of large numbers)，所谓大数定律，简单地说，就是大量数目的随机变量所呈现出的规律，这种规律一般用随机变量序列的某种收敛性来刻划。本章仅介绍几个最基本的大数定律。,大量随机现象的平均结果实际上是与各个个别随机现象的特征无关,并且几乎不再是随机的了.所有这些事实都应该由概率论作出理论上的结论.,概率论中用来阐明大量随机现象平均结果的稳定性的一系列定理统称为大数定律.大数定律是一种表现必然性与偶然性之间的辩证联系的规律.由于大数定律的作用,大量的随机因素的总和作用必然导致某种不依赖于个别随机事件的结果.,5.1 大数定律,讨论 “概率是频率的稳定值”的确切含义；给出几种大数定律：切比雪夫大数定律伯努利大数定律辛钦大数定律,一、问题的引入,实例频率的稳定性,随着试验次数的增加, 事件发生的频率逐渐稳定于某个常数.,启示:从实践中人们发现大量测量值的算术平均值有稳定性.,单击图形播放/暂停 ESC键退出,二、基本定理,定理一（切比雪夫大数定律）,切比雪夫,表达式的意义,证明,由切比雪夫不等式可得,并注意到概率不

2、能大于1, 则,说明:,（这个接近是概率意义下的接近）,即在定理条件下, n个随机变量的算术平均, 当n无限增加时, 几乎变成一个常数.,定理一的另一种叙述:,依概率收敛序列的性质:,证明,引入随机变量,伯努利,定理二（伯努利大数定理）,显然,根据定理一有,说明:,故而当 n 很大时, 事件发生的频率与概率有较大偏差的可能性很小. 在实际应用中, 当试验次数很大时, 便可以用事件发生的频率来代替事件的概率.,关于辛钦定理的说明:,(1) 与定理一相比, 不要求方差存在;,(2) 伯努利定理是辛钦定理的特殊情况.,辛钦资料,定理三（辛钦定理）,切比雪夫资料,Pafnuty Chebyshev,Born: 16 May. 1821 in Okatovo, Russia Died: 8 Dec. 1894 In St Petersburg, Russia,伯努利资料,Jacob Bernoulli,Born: 27 Dec. 1654 in Basel, Switzerland Died: 16 Aug. 1705 in Basel, Switzerland,辛钦资料,Aleksandr Y

3、akovlevich Khinchin,Born: 19 Jul. 1894 in Kondrovo, Kaluzhskaya guberniya, Russia Died: 18 Nov. 1959 in Moscow, USSR,引言,在随机变量的一切可能的分布律中,正态分布占有特殊重要的地位.实践中经常遇到的大量的随机变量都是服从正态分布的.就提出这样的问题:为什么正态分布如此广泛地存在,从而在概率论中占有如此重要的地位?应该如何解释大量随机现象中的这一客观规律呢？概率论中有关论证随机变量之和的极限分布为正态分布的定理称为中心极限定理.,5.2 中心极限定理,讨论独立随机变量和的极限分布本节指出极限分布为正态分布,独立随机变量和,设 Xn 为独立随机变量序列，记其和为,一、问题的引入,实例:,考察射击命中点与靶心距离的偏差.,这种偏差是大量微小的偶然因素造成的微小误差的总和, 这些因素包括: 瞄准误差、测量误差、子弹制造过程方面 (如外形、重量等) 的误差以及射击时武器的振动、气象因素(如风速、风向、能见度、温度等) 的作用, 所有这些不同因素所引起的微小误差是相互独立的,

4、并且它们中每一个对总和产生的影响不大.,问题:,某个随机变量是由大量相互独立且均匀小的随机变量相加而成的, 研究其概率分布情况.,二、基本定理,定理四（独立同分布的中心极限定理）,定理四表明:,李雅普诺夫,定理五(李雅普诺夫中心极限定理),则随机变量之和的标准化变量,定理五表明:,(如实例中射击偏差服从正态分布),下面介绍的定理六是定理四的特殊情况.,德莫佛,拉普拉斯,定理六(德莫佛拉普拉斯定理),定理六表明:,正态分布是二项分布的极限分布, 当n充分大时, 可以利用该定理来计算二项分布的概率.,下面的图形表明:正态分布是二项分布的逼近.,三、典型例题,例1,一船舶在某海区航行, 已知每遭受一次海浪的冲击, 纵摇角大于 3 的概率为1/3, 若船舶遭受了90 000次波浪冲击, 问其中有29 50030 500次纵摇角大于 3 的概率是多少？,例2,某保险公司的老年人寿保险有1万人参加,每人每年交200元. 若老人在该年内死亡,公司付给家属1万元. 设老年人死亡率为0.017,试求保险公司在一年内的这项保险中亏本的概率.,例3,证,例4,根据独立同分布的中心极限定理，,四、小结,三个中心极限定理,独立同分布的中心极限定理,李雅普诺夫定理,德莫佛拉普拉斯定理,中心极限定理表明, 在相当一般的条件下, 当独立随机变量的个数增加时, 其和的分布趋于正态分布.,李雅普诺夫资料,Aleksandr Mikhailovich Lyapunov,Born: 6 Jun. 1857 in Yaroslavl, Russia Died: 3 Nov. 1918 in Odessa, Russia,德莫佛资料,Abraham de Moivre,Born: 26 May. 1667 in Vitry (near Paris), France Died: 27 Nov. 1754 in London, England,拉普拉斯资料,Pierre-Simon Laplace,Born: 23 Mar. 1749 in Beaumont-en-Auge, Normandy, France Died: 5 Mar. 1827 in Paris, France,

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