届高考数学一轮复习课件第十二编概率与统计7正态分布

1、要点梳理 1.正态曲线及性质 (1)正态曲线的定义 函数 , x(-,+),其中实数和 (0)为参数，我 们称 的图象(如图)为正态分布密度曲线, 简称正态曲线.,12.7 正态分布,基础知识 自主学习,(2)正态曲线的性质： 曲线位于x轴_,与x轴不相交； 曲线是单峰的,它关于直线_对称； 曲线在_处达到峰值 曲线与x轴之间的面积为_； 当一定时,曲线随着_的变化而沿x轴平移, 如图甲所示；,上方,x=,x=,1,当一定时,曲线的形状由确定,_，曲线 越“瘦高”,表示总体的分布越集中;_,曲线 越“矮胖”,表示总体的分布越分散, 如图乙所示.,越小,越大,2.正态分布 (1)正态分布的定义及表示 如果对于任何实数a,b (ab),随机变量X满足P(a Xb)= ,则称X的分布为正态分布,记作 _. (2)正态总体在三个特殊区间内取值的概率值 P(-X+)=_; P(-2X+2)=_; P(-3X+3)=_.,N(,2),0.682 6,0.954 4,0.997 4,基础自测 1.正态分布函数 其中0 的图象可能为 ( ) 解析 f(x)图象的对称轴为x=, 由图象知选项A适合.,A

2、,2.把一正态曲线C1沿着横轴方向向右移动2个单位， 得到一条新的曲线C2,下列说法不正确的是 ( ) A.曲线C2仍是正态曲线 B.曲线C1,C2的最高点的纵坐标相等 C.以曲线C2为概率密度曲线的总体的方差比以曲线 C1为概率密度曲线的总体的方差大2 D.以曲线C2为概率密度曲线的总体的均值比以曲线 C1为概率密度曲线的总体的均值大2 解析 正态曲线左右平移,只会改变对称轴，即x= 变化,其他特征都不变.,C,3.(2008湖南)设随机变量X服从正态分布N(2,9), 若P(Xc+1)=P(Xc-1),则c等于 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析 =2，由正态分布的定义知其函数图象 关于x=2对称,于是 c=2.,B,4.已知N(0,2)且P(-20)=0.4,则P(2) 的值为 ( ) A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4 解析 根据正态曲线的对称性, P(-22)=2P(-20)=0.8.,A,5.某班同学共有48人，数学测验的分数服从正态分 布,其平均分是80分,标准差是10,则该班同学中成绩 在7090分之间的约有_人. 解析 =80,=10. P(70

3、90)=P(-+)=0.682 6, 约有480.682 6=32.764 833(人).,33,题型一 正态曲线的性质 【例1】若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函 数,且该函数的最大值为 (1)求该正态分布的概率密度函数的解析式； (2)求正态总体在(-4,4的概率. 要确定一个正态分布的概率密度函数的 解析式,关键是求解析式中的两个参数,的值,其 中决定曲线的对称轴的位置,则与曲线的形状和 最大值有关.,思维启迪,题型分类 深度剖析,解 (1)由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函 数,所以其图象关于y轴对称,即=0. 故该正态分布的概率密度函数的解析式是 (2)P(-4X4)=P(0-4X0+4) =P(-X+)=0.682 6. 解决此类问题的关键是正确理解函数解 析式与正态曲线的关系,掌握函数解析式中参数的取 值变化对曲线的影响.,探究提高,知能迁移1 如图是一个正态 曲线.试根据该图象写出其正 态曲线函数解析式,求出总体 随机变量的期望和方差. 解 从给出的正态曲线可知,该正态曲线关于直线 x=20对称,最大值是 所以=20. 于是正态分布密度函数的解析式是 总体随机变

4、量的期望是=20,方差是,题型二 服从正态分布的概率计算 【例2】设XN(5,1),求P(6X7). 确定,根据正态曲线的对称性知 P(-X+)、P(-2X+2)的概率, 进行求解. 解 由已知=5,=1. P(4X6)=0.682 6. P(3X7)=0.954 4. P(3X4)+P(6X7) =0.954 4-0.682 6=0.271 8.,思维启迪,如图,由正态曲线的对称性可得 P(3X4)=P(6X7) 求服从正态分布的随机变量在某个区间 取值的概率,只需借助于正态曲线的性质,把所求问题 转化为已知概率的三个区间上.,探究提高,知能迁移2 设XN(1,22),试求 (1)P(-1X3); (2)P(3X5); (3)P(X5). 解 XN(1,22),=1,=2. (1)P(-1X3)=P(1-2X1+2) =P(-X+) =0.682 6.,(2)P(3X5)=P(-3X-1) P(3X5)= P(-3X5)-P(-1X3) = P(1-4X1+4)-P(1-2X1+2) = P(-2X+2)-P(-X+) = (0.954 4-0.682 6)=0.135 9.,(3)

5、P(X5)=P(X-3), P(X5)= 1-P(-3X5) = 1-P(1-4X1+4) = 1-P(-2X+2) = (1-0.954 4)=0.022 8.,题型三 正态分布的应用 【例3】 (12分)设在一次数学考试中,某班学生的分 数服从XN(110，202),且知满分150分,这个班的学 生共54人.求这个班在这次数学考试中及格(不小于 90分)的人数和130分以上的人数. 要求及格的人数,即求出P(90X 150),而求此概率需将问题化为正态变量几种特殊值 的概率形式,然后利用对称性求解.,思维启迪,解 因为XN(110,202), 所以=110,=20. 2分 P(110-20130的概率为 8分 所以,X90的概率为0.682 6+0.158 7=0.841 3. 10分 及格的人数为540.841 345(人), 130分以上的人数为540.158 79(人). 12分,探究提高 (1)正态分布的特点可结合图象记忆,并 可根据和的不同取值得到不同的图象. (2)解答这类问题的关键是熟记正态变量的取值位于 区间(-,+),(-2,+2),(-3,+ 3)上的概率值,同

6、时又要根据已知的正态分布确定 所给区间属于上述三个区间中的哪一个.,知能迁移3 某年级的一次信息技术测验成绩近似服 从正态分布N(70，102)，如果规定低于60分为不及 格,则成绩不及格的人数占多少？ 解 设学生的得分情况为随机变量X,XN(70,102), 则=70,=10. P(60X80)=P(70-10X70+10)=0.682 6. P(X60)= 1-P(60X80) = (1-0.682 6)=0.158 7. 即不及格学生占15.87%.,1.熟练地掌握正态密度曲线的解析式 x R.注意结构特点,特别是参数 的一致性. 2.理解正态曲线的形状特征,如对称轴、顶点变化趋 势等. 3.若XN(,2),则P(-X+)=0.682 6, P(-2X+2)=0.954 4, P(-3X+3)=0.997 4.,方法与技巧,思想方法 感悟提高,在实际问题中进行概率、百分比计算时,关键是把正 态分布的两个重要参数,求出,然后确定三个区间 (范围)：(-,+),(-2,+2), (-3,+3)与已知概率值进行联系求解.,失误与防范,一、选择题 1.(2008重庆理,5)已知随机变量服

7、从正态分布 N(3,2),则P(3)=,D,定时检测,2.(2008安徽理,10)设两个正态分布N(1, ) (10)和N(2, ) (20)的密度函数图象如 图所示,则有 ( ) A.12 C.12,12,12 解析 由正态分布N(,2)性质知,x=为正态密 度函数图象的对称轴,故12.又越小，图象越 高瘦,故12.,A,3.某市组织一次高三调研考试,考试后统计的数学成 绩服从正态分布,其密度函数为 (xR),则下列命题不正确 的是 ( ) A.该市这次考试的数学平均成绩为80分 B.分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数 相同 C.分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数 相同 D.该市这次考试的数学成绩标准差为10,解析 由密度函数知,均值(期望)=80,标准差= 10,又曲线关于直线x=80对称,故分数在100分以上的 人数与分数在60分以下的人数相同,所以B是错误的. 答案 B,4.已知随机变量N(3,22),若=2+3,则D()等 于 ( ) A.0 B.1 C.2 D.4 解析 由=2+3,得D()=4D(), 而D()=2=4,D()=1. 5.标准正

8、态总体在区间(-3,3)内取值的概率为( ) A.0.998 7 B.0.997 4 C.0.944 D.0.841 3 解析 标准正态分布N(0,1),=1,区间(-3,3), 即(-3,3),概率P=0.997 4.,B,B,6.已知随机变量服从正态分布N(2,2),P(4) =0.84,则P(4)=1-P(4) =1-0.84=0.16.,A,二、填空题 7.(2009安徽理,11)若随机变量XN(,2),则 P(X)=_. 解析 由于随机变量XN(,2),其概率密度曲线 关于x=对称,故P(X)=,8.已知正态分布总体落在区间(0.2，+)的概率为 0.5,那么相应的正态曲线 在x=_时达到 最高点. 解析 P(X0.2)=0.5, P(X0.2)=0.5, 即x=0.2是正态曲线的对称轴. 当x=0.2时, 达到最高点.,0.2,9.在某项测量中,测量结果服从正态分布N(1,2) (0).若在(0,1)内取值的概率为0.4，则在 (0,2)内取值的概率为_. 解析 服从正态分布(1,2), 在(0,1)与(1,2)内取值的概率相同均为0.4. 在(0,2)内取值概率为0.4+0.4=0.8.,0.8,三、解答题 10.设XN(10,1). (1)证明：P(1X2)=P(18X19); (2)设P(X2)=a,求P(10X18). (1)证明 因为XN(10,1),所以正态曲线 关于直线x=10对称,而区间1,2和18,19关于直线 x=10对称,所以 即P(1X2)=P(18X19). (2)解 P(10X18)=P(2X10) =P(X10)-P(X2)=,11.工厂制造的某机械零件尺寸X 服从正态分布 问在一次正常的试验中,取1 000个零件时, 不属于区间(3,5)这个尺寸范围的零件大约有多少个？ 解 不属于区间(3,5)的概率为 P(X3)+P(X5)=1-

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