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考研试题分析十(重积分的应用)

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卖家[上传人]：luoxia****01805

文档编号：70674170

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1、考研试题分析十（重积分的应用）考研试题分析十（重积分的应用）例例 1.(1989 年高数一) 设半径为 R 的球面的球心在定球面上,问当 R 取何值时,球面在定球面内部的那部分面积最大? )0( 2222 =+aazyx 答案aR 3 4 =. 分析球面在定球面内部的那部分面积属于曲面面积。欲求空间曲面面积，必须建立曲面方程，并且明确曲面在坐标面上的投影区域。球面在定球面内部的那部分可视为球面 0),(=zyxF 与定球面相交而成，因此明确所求曲面在 xoy 坐标面上的投影区域，必须考察球面与定球面的交线。解答设球面方程为：两球面的交线在 xoy 面上的投影为 .)( 2222 Razyx=+ = =+ 0 )4( 4 22 2 2 22 z Ra a R yx 设投影曲线所围平面区域为，球面 xy D在定球面内部的那部分方程为： 222 yxRaz=，这部分的面积为 = =+= 22 4 2 022 2 0222 22 1)( Ra a R DD yx dr rR rR ddxdy yxR R dxdyzzRS xyxy )20(,2 3 2 aR a R R

2、0），求球体的重心。 0 P 0 P 答案重心为) 4 , 0 , 0( R 。分析为了便于计算，首先需建立一个合适的坐标系。为此可将球心定为原点，而令。利用球体的对称性，立即可得到), 0 , 0( 0 Rp=0=yx。从而只需算z。而z的计算也可以借助于对称性得以简化。解答将球心定为原点，而令), 0 , 0( 0 Rp=。则球面方程为。密度函数为。利用球体的对称性，得到 2222 Rzyx=+ )( 222 Rzyxk+=0=yx。而 + + = dvRzyxk dvRzyxkz z )( )( 222 222 ，利用球体的对称性，当被积函数为奇函数时，积分为零，故式中： 52222222 15 32 )()(RdvRdvzyxdvRzyx=+=+ ， 62222 15 8 2)(RdvzRdvRzyxz=+ 。故 + + = dvRzyxk dvRzyxkz z )( )( 222 222 = 4 R 。所以重心为) 4 , 0 , 0( R 。例例 3.(2005 年高数一) 设是由锥面 22 yxz+=与半球面 222 yxRz=围成的空间区域，是的整个边界的外侧，则 =+zdxdyydzdxxdydz。答案 3 ) 2 2 1 (2R 分析本题是封闭曲面且取外侧，自然想到用高斯公式转化为三重积分，再用球面（或柱面）坐标进行计算即可. 解答 =+zdxdyydzdxxdydz dxdydz3 =.) 2 2 1 (2sin3 3 2 00 4 0 2 Rddd R =

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