高等代数-第二章 线性方程组

1、第二章 线性方程组,1 消元法 2 n维向量空间 3 矩阵的秩 4 线性方程组的解,1 消元法,一般线性方程组的基本概念 方程组的解 同解方程组 消元法的三个基本变换 阶梯形方程组 非齐次方程组解的三种情况 齐次线性方程组解的情况 矩阵及其初等变换,现在讨论一般线性方程组： 其中 为n个未知量，m为方程个数； 为,方程组的系数， 为常数项. m与n不一定相等. 满足方程组（1）的有序数组 称为方程组的解； 解的全体称为解集合. 如果两个方程组有相同的解集合，就称为它们是同解的.,A为系数矩阵,为增广矩阵,例1 解方程组 方程组的解为（9，-1，-6）。,其中用到 1、互换两个方程的位置(位置变换)； 2、用一个非零数乘某一个方程(倍法变换)；,3、把一个方程的倍数加到另一个方程上 (消法变换).,定义1 变换1、2、3称为线性方程组的初等变换.,定理2: 初等变换把一个线性方程组为 一个与它同解的方程组.,证明: 分析初等变换的三种形式，可以看出定理对于第一种、第二种初等变换是显然成立的. 对于第三种初等变换，我们引导学生给出证明.,我们仅对第 3 种初等变换作证明, 令,把第,个方程

2、的,倍加到第,个方程，,得到,可以证明它们是同解的,用初等变换求线性方程组的解,利用初等变换，我们把线性方程组化为阶梯形方程组, 其过程如下：,首先： 对于方程组（1） 如果 的系数 全为零， （1）可以看为 的方程来解. 否则， 设 ，利用初等变换（3） 可以将方程组（1）变为：,（3） 其中,这样解方程组（1）就归结为解下方程组,（4）,对（4）重复以上过程，最后得到 一个阶梯形的方程组。,其中 当 时，方程组无解；,当 时，分两种情况 ： 1）r=n，这时阶梯形方程组为 其中 .这时方程组有唯一解,2）rn，阶梯形方程组为,其中,，把它改写成,（7）,这时，有无穷多组解。由（7）式，我们可以把 通过 表示出来，这样一 组表达式称为方程组（1）的一般解， 而 称为一组自由未知量。,rn，是不可能的 总之：首先将方程组化为阶梯形的方程组， 若 ，则方程组无解； 若 ，方程组有解. 在有解的情况下，若r=n，有唯一解； 若rn有无穷多解.,矩阵的定义及初等变换,在前面我们讲了线性方程组的初等变换，而非齐次线性方程组对应于两个矩阵：系数矩阵和增广矩阵. 下面我们介绍矩阵的概念和初等变化，

3、包括初等行变换、初等列变换.,矩阵的定义,我们称由 个数排成的一个表为 矩阵 对应有线性方程组的系数矩阵、增广矩阵,矩阵的初等变换,由线性方程组的初等变换，我们容易推出矩阵的初等行变换 (1)交换矩阵的两行 (2) 以一个非零数乘以矩阵某一行的元素 (3) 把矩阵的某一行的若干倍加到另一行上去 类似介绍矩阵的初等列变换,定理2 在齐次线性方程组 中，如果mn，那么它必有非零解. 证明 显然，方程组化为阶梯形方程组后，方程组的个数不会超过原方程组中的个数，即rmn，由上结论知，rn方程组有无穷解，因而必有非零解.,用初等变换化方程组为阶梯形方程组就相当于用初等行变换化增广矩阵为阶梯形矩阵. 所以，解方程组一般用增广矩阵化简. 例 2 解 对增广矩阵 作初等行变换,同解方程为,即方程的解,是自由未知量,其中,例3,解 对增广矩阵作初等行变换 从最后一行可以看出原方程组无解.,Back,例4,答案,例5,答案,例6,答案：当 时，方程组无解 当 时，方程组有解,2 n维向量空间,消元法是解方程组的一个行之有效的算法。但有时需要直接从原方程来判是否有解？并且，消元法化为阶梯形方程组的过程中，最

4、后剩下来的方程个数是否是唯一的？这些问题都需要用向量的知识来解决。,n维向量及其线性运算,向量的定义 向量的加法 向量的数乘,定义4 所谓实数域 R 上一个n维向量就是由实 数域 R 中n个数组成的有序数组 （1） 称为向量（1）的分量. 用希腊字母 来代表向量.,如果n维向量 的对应分量相等，称为这两个向量相等， 记作,定义5 向量 称为向量 的和，记为 满足 交换律 结合律,分量全为零的向量(0,0,0)称为零向量，记为0. 向量 称为向量 的负向量，记为,向量的减法,定义6 设k为数域R中的数，向量 称为向量 与数k的数量乘积，记为 .,以数域R中的数作为分量的n维向量的全体，同时考虑到定义在它们上面的加法和数量乘法，称为数域R上的实 n维向量空间。 向量可以表示为行向量和列向量：,Back,向量的线性相关性,线性表示、线性组合、线性表出 线性相关、线性无关 向量组等价 定理4 极大线性无关组、向量组的秩,线性表示,本节我们讨论向量的线性关系。两个向量的之间的关系是成比例， 及 多个向量的比例关系表现为线性组合。 定义7 向量 称为向量组 的一个线性组合，如果有数域R中的数 使,

5、也称为 可由向量组 线性表出。 如任一n维向量 都是向量组 的一个线性组合 向量组 称为n维单位 向量组.,例 7,如何判断一个向量可用某组向量线性表示,解： 设,比较分量，得到,问题化为这个 方程组有无解,例 9,能否用下列向量线性表示,解： 设,比较分量，得到,问题化为这个 方程组有无解,例 10,能否用下列向量线性表示,解： 设,比较分量，得到,问题化为这个 方程组有无解,例 11,能否用下列向量线性表示,解： 设,比较分量，得到,问题化为这个 方程组有无解,零向量是任一向量组的线性组合。,线性相关，线性无关,下面我们介绍向量组的线性相关、线性无关的概念,定义8 如果向量组 中有一个向量可以由其余向量线性表出，,那么向量组 称为线性相关,例如,两个向量线性相关，则 或 (两个不一定同时成立） 在三维空间中，两个向量线性相关表示共线；三个向量线性相关，表示共面。 任何一个包含零向量的向量组必线性相关。,定理3 向量组 称为线性相关的，如果存在不全为零的数,使,当 时，两定义是一致的. 事实上 若按定义8， 是线性相关的，则其中有一向量是其余向量的线性组合，不妨设 即 因 不全为零,

6、按定理3， 向量组线性相关.,反之，若 按定理3线性相关， 即有不全为零的数,使,不妨设 ，于是 这说明 可以由其余向量线性表出，所以此向量组按定义8也线性相关。,定理 3 一向量组 不线性相关，即没有不全为零的数 使得 就称为线性无关；或者说 称为线性无关，如果由,可以推出,如何判断一个向量组线性相关、线性无关,例14 判断 是否线性相关？,解 设 即,由消元法可解的方程组有无穷多组解，故向量组线性相关, 特别取一组解（-3，-1，1）得 一般判别一个向量组 （2） 是否线性相关，按定理3，看方程,是否有非零解，,（3）,分量形式为： （4） 因此, 向量组 线性无关的充要条件是齐次线性方程组（4）有非零解,如果（2）线性无关，那么在每一个向量上添加一个分量得到的n+1 维的向量组 （5） 也线性无关.（原来无关，延长无关）,事实上，与向量组（5）相对应的齐次线性方程组为 （6）,显然（6）的解全是（4）的解， 如果（4）只有零解，则（6）也只有零解 这个结论可以推广到添加几个分量上去,如果一个向量组的一部分线性相关，那么这个 向量组线性相关；换句话说，如果一向量组线 性无关，那么它

7、的任一个非空的部分组也线性 无关。（部分相关，整体相关；整体无关，部 分无关）,单个向量线性相关当且仅当 ； 两个向量线性相关当且仅当对应分量成比例。 n维单位向量组 线性无关。,向量组等价,定义9 如果向量组 中每一向量 都可以经过向 量组 线性表出，那么向量 组 就称为可以经过向量 组 线性表出.,如果两向量组互相可以线性表出，它们就称为等价。 每个向量组都可以由它自身线性表出 如果向量组 可经向量组 线性表出， 可 以经 线性表出，那么向量组,可以经 线性表出， 事实上 如果 则,向量组等价性质： 1）反身性 每一个向量组都与它自身等价； 2）对称性 如果向量组 与 等价，那么 与 等价； 3）传递性 如果向量组 与 等价， 与 等价，那么 与 等价,定理4 设 与 是,是两个向量组，如果 1）向量组 可以经 线性表出， 2）rs， 那么向量组 必线性相关 （多的用少的线性表出，多的线性相关）,证明 由1）有 为了证明 线性相关，设 如果我们能找到不全为零的数,使上式成立，那就证明了 的线性相关性。,而,因为rs，齐次线性方程组 中未知量个数大于方程个数，由定理1，它有非零解。,

8、推论1 如果向量组 可以经过向量组 线性表出，且 线性无关，那么rs. 推论2 n+1个n维向量必线性相关。 因为n+1个n维向量可由单位向量组线性表出。 推论3 两个线性无关的等价向量组,必含有相同个数的向量。,向量组的极大线性无关组 向量组的秩,定义10 一向量组的一个部分组称为一个 极大线性无关组，如果这个部分组本身是 线性无关的，并且从这向量组中任意添加 一个向量（如果有的话），所得到的部分,向量组都线性相关,如 因为 且 线性无关，所 以 为一个极大线性无关组， 也是 一个极大线性无关组.,任意一个极大线性无关组都与向量组等价；因而，一向量组的任意两个极大线性无关组是等价的. （课上证明） 结论： 一向量组的极大线性无关组都含有相同个数的向量。 由上结论和定理2的推论3得。,定义11 向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩 例如 的秩是2. 一向量组线性无关的充分必要条件是它的秩与它所含向量的个数相同 推论4：等价向量组必有相同的秩,Back,3 矩阵的秩,矩阵的行秩=矩阵的列秩=矩阵的秩 矩阵的初等变换不改变矩阵的秩 用子式定义矩阵的秩 向量组的极大线性无关组的求法,矩阵可以看成行向量组成的，也可看成列向量组成的. 定义12 所谓矩阵的行秩就是指矩阵的行向量组的秩；矩阵的列秩就是指矩阵的列向量组的秩.,是行向量组的一个极大线性无关组 所以行秩为3,例18 矩阵,A的列向量组为 线性无关， 所以 是列向量组的一个极大线性无关组，列秩为3。,关于矩阵的行秩的结论,矩阵A经行初等变换后，不改变它的行秩 阶梯形矩阵的行秩等于不为零的行的数目,矩阵A经行初等变换后，不改变它的行秩,证明:,分析行初等变换的三种情况, 我们得到,可以由,线性表示

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