信号与系统-第六章 离散系统的z域分析

1、第六章 离散系统的Z域分析,概论： 与连续系统相似，线形离散系统也可用变换法分析，其中傅立叶分析将在有关数字信号处理等课程中讨论，本书只讨论Z变换分析法。在LTI离散系统分析中，Z变换的作用类似于连续系统分析中的拉普拉斯变换，他将描述系统的差分方程变为代数方程，而且代数方程中包含了系统的初始状态，从而可求得系统的零输入响应和零状态响应以及全响应。这里用于分析系统的独立状态变量是复变量Z,故称为Z域分析。,本章共包含四部分内容,第一节 Z变换 第二节 Z变换的性质 第三节 逆Z变换 第四节 Z域分析 总结,第一节 Z变换,、从拉普拉斯变换到Z变换 连续时间信号进行均匀抽样可得到离散时间信号，设抽样脉冲为 ，则： f(t)= = 对该式进行双边拉氏变换得：F(S)= = = (t-KT)= 令Z= 即将变量变为Z,则上式为：F(Z)= 该式称为f(KT)的双边 Z变换.由以上分析可得双边变换和拉氏变换的关系：,为了方便，取周期T=1，即f(KT)=f(K),二、Z变换： 对离散序列f(k),k=0, 1, 2则： ,称为双边Z变换。 对因果信号，单边与Z双边变换相等，重点研究双边Z变换。

2、三、收敛域 Z变换存在的条件： 即：上式绝对可和，它为f(k)的Z 变换存在的充要条件。 例1、求有限长序列Z的变换 (1)f(k)=(k) 解：F(Z)= 收敛域：全平面收敛 (2)f(k)= 1 2 3 2 1 解： 收敛域：0z,k=0,例2、求因果序列 的Z变换，其中a为常数。 解： 即： 例3、求反因果序列 的Z变换，其中b 为常数。 解：,Zb 即： 其中： Zb 例4：求双边序列 的Z变换 解： 收敛域为： aZb 由以上分析可得以下结论： 有限长序列的收敛域：0Z（全左边） 0Z（全右边） 0 Z ( 双边 ） 左边序列（反因果序列）的收敛域为：Zb,右边序列（因果序列）的收敛域为：Za 双边序列的收敛域为：aZb 下面列出常用序列的Z变换:,第二节 Z变换的性质,本节讨论Z变换的一些基本性质和定理，这对于熟悉和掌握Z变换的方法，用以分析离散系统等都是很重要的。下面一些性质无特殊说明，既适应于Z单边变换，也适应于双边Z变换。 主要有以下几条： 一、线性 若： 则: 其收敛域为公共部分。 例1：已知： 求： Z的变换 解：有已知得：,二者的Z变换为： 则： 例2：求单边余

3、弦cos(k)(k)和单边正弦sin (k)(k)的Z变换 解： = 同理： 二、移位特性 这个性质比较重要，类似于S域变换中的微分特性和积分特性。对于Z单边和双边Z变换结果不同。,（1）双边变换的移位特性 若： 则： 其中：m为 整数 例3:已知长为M的矩形序列 = 1 -MkM 求其双边Z变换 0 其他 解： 由移微特性得： 所以：,（2）单边Z变换的移位特性： 设： 其中m 为整数； 则： 收敛域不变：Za 例4：已知 (a为实数）的单边Z变换为,求： 的单边Z变换 解： 例5：求周期为N的有始周期性单位序列 的Z变换. 解： 根据移位特性得： 即： 由此可知：有限长序列结合为无限长序列其收敛域发生变化 三 、序列乘 （Z域尺度变换）,若： 其中a为常数且不为0 则： 例6：求指数衰减正弦函数 的Z变换 解： 四：卷积定理 若： 则：,例7：求单边序列(k+1)(k)和 的Z变换 解：因为： = 当a=b=1时，则 又因为： 又（k+1）（k)左移一位为：k(k-1),由移位特性得： 而因k=0,k(k-1)=0得： k(k-1)= k(k） 则：,例8：求双边三角序列f(k)的

4、Z变换 解： 即： 因为： 所以： 五：序列乘k(Z域微分） 注意：f(k)为离散的，而Z域为连续的; 若： 则：,例9：求序列 的Z变换 解：（1） （2）利用左移特性： 因为k=-1时（k+1)=0 则（k+1)(k+1)=(k+1)(k) 由此可推出： （3） 利用线性： 六：序列除（k+m)（Z域积分）,若： m为整数，且 k+m0 则： 若：m=0,k0 则： 例10：求序列 的Z变换 解： 七：K域反转 若： 则： 例11：已知 求 的Z变换 解： 以(-k)代k得:,左移一个单位，即以(k+1)代k得: 利用线性并且K域和Z域同乘a得： 八：部分和 若： 则： 例12：求序列 的Z变换，其中a为实数 解：由题意得： 九：初值定理和终值定理 1、初值定理：当1km时，f(k)=0,且 则：,2、终值定理：当1km时，f(k)=0且 则： 例13、某因果序列的Z变换为 求f(0)、f(1)和 f()的值 解： = 1 a=1 0 其他 例14、已知因果序列 求序列的无限长和 解：,第三节 逆Z变换,本节研究求F(Z)的逆变换，既由象函数F(Z)求原序列f(k)的问题。求逆变换

5、的方法有三种：幂级数展开法、部分分式展开法和反演积分（留数法）等，本节重点讨论最常用的部分分式展开法。 一般而言，双边序列法f(k)可分为因果序列 和反因果序列 两部分，当已知象函数F(Z)时，根据给定的收敛域分别求得 和 并分别求得它们的原序列，然后利用线性将二者相加就得到F(Z)对应的原序列f(k)。因此本节重点研究因果序列象函数 的逆变换，显然那它是单边的变换 。 具体做法如下所示：,即： 双边序列： 因果序列： 反因果序列： 注：已知象函数求出原函数不仅要注意F(Z)的形式还要注意其收 敛域。 一、幂级数展开法 ： 步骤为：先由F(Z)的收敛域确定原序列的形式（因果反因果或双 边），然后再利用长除法将F(Z)展为幂级数，取其系数即可得到 f(k). 例1：已知 求收敛域为 的Z 变换。 解:(1)F(Z)的收敛域为z2时,该序列为因果序列，利用长除 法展为 的幂级数时F(Z)为降幂级数。,具体作法如下： 即得如下结果： 则： k=0 (2)F(Z)的收敛域为Z1时，序列为反因果序列，利用长除法 展为 的幂级数时为时幂级数。 具体做法如下： 即得如下结果： 则： (3) F(Z)

6、的收敛域为 1Z2 时，序列为双边序列，不同收 敛域对应不同原序列。 具体作法如下：,将F(Z)进行分解可得: 为因果序列，展开为： 为反因果序列展开为： k=0 注意：这种方法一般不写出f(k)的闭合形式，另外也可利用其他幂 级数 的展开式求。（如下例所示） 例2：已知： 求原序列f(k) 解：因为序列的收敛域为Z0, 所以该序列为因果序列,因为： ，令 则： 所以： 二、部分分式展开法 设F(Z)为有理式,令 ， 式中：mn；对上式两边同除Z得： 不为真分式，先用除法得出常数项； 为真分式，直接将其展开； 1、 有单极点时：,式中各系数为： 两边同时乘以Z得： 利用常用序列的Z变换： 可以求出F(Z)的逆变换f(k) 例3： ，在 时的原序列 解：由题意得： 其中：,则： 当：Z2时， 当：Z1时， 当：1Z2时， 例4：已知 求其逆Z变换 解： 求出 所以： 由此可得：,2、 有共轭极点时： 设 则 ： 其中 为单极点部分，处理 方法同上； 为共轭极点对应部分，处理方法如下： 令：,例5：求 的逆Z变换 解：由已知得：极点为 所以：,3、F(Z)有重极点时： 设F(Z)在Z=a处

7、有r重极点，则 可展开为 其中系数： 为单极点部分，处理方法同上。 其中： 例6：求 的逆Z变换,解： 所以： 例7：求 的逆Z变换 解：,所以： 三：反演积分法 基本思想是根据复变函数留数定理来研究F(Z)的逆变换。 令： 其中 对应因果序列 对应反 因果序列。 则 = 0 k0; 0 k0; 其中C为收敛域内的环绕原点的逆时针的闭合曲线。,第四节 Z域分析,Z变换是分析线性离散离散系统的有力工具，它将描述系统的的序域差分方程变换为Z域的代数方程，便于运算和求解；同时单边Z变换将系统的初始状态自然的包含于象函数方程中，即可分别求得零输入相应，零状态相应，也可依据求得系统的全响应。 一、差分方程的变换解： 已知n阶系统： 均为实数， f(k)是在k=0时刻接入的，系统的初始条件为：y(-1)、y(-2) y(-n); 令Zy(k)=Y(Z),Zf(k)=F(Z),利用单边Z变换的移位特性得：,其中： 求Y(Z)的逆变换可得系统的响应y(k)以及 和 例1：已知y(k)-y(k-1)-2y(k-2)=f(k)+2f(k-2),其初始条件为：y(-1)=2 ,且f(k)=(k); 求： 解：对方程进行变换得： 将其代入得：,y(k)的逆变换为： 由此可推出： 所以：,例2：已知y(k)-y(k-1)-2y(k-2)=f(k)+2f(k-2)，起初始条件为： y(0）=2，y(1)=7且f(k)=(k); 求： y(-1),y(-2) 解：利用Z变换求解时所需的初始条件为：y(-1),y(-2),在利用Z域 求解 原方程可变为： 例3：已知6y(k)-5y(k-1)+y(k-2)=f(k)

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