文科数学第七章第二节

1、第二节 两条直线的位置关系,第七章 平面解析几何,考 纲 要 求,1在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素 2能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直 3能用解方程组的方法求两直线的交点坐标 4掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离 5了解中心对称、对称轴图形的几何特性 6能利用几何图形的对称性解决简单的点关于点对称、点关于线对称、线关于点对称、线关于线对称的问题.,课 前 自 修,知识梳理,一、直线与直线的位置关系 1平行与垂直 (1)若直线l1和l2有斜截式方程l1：y=k1x+b1，l2：y=k2x+b2，则 直线l1l2的充要条件是_ 直线l1l2的充要条件是_ (2)若l1和l2都没有斜率，则l1与l2_. (3)若l1和l2中有一条没有斜率而另一条斜率为0，则_,k1k2且b1b2,k1k21,平行或重合,l1l2,2两直线相交 若直线l1：A1x+B1y+C1=0和l2：A2x+B2y+C2=0的公共点的坐标与方程组 的解一一对应 相交_； 平行_； 重合_. 二、点与直线的位置关系 若点P(x0，y0)在直线Ax+By+

2、C=0上，则有Ax0+By0+C=0；若点P(x0，y0)不在直线Ax+By+C=0上，则有Ax0+By0+C_0.,方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解,方程组无解,方程组有无穷多个解,三、两点间的距离公式 已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|=_. 四、点P(x0，y0)到直线l：Ax+By+C=0的距离 d=_. 两平行线l1：Ax+By+C1=0和l2：Ax+By+C2=0之间的距离： d=_. 五、中点坐标公式 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则线段AB的中点 P(x0，y0)的坐标公式为_,六、对称问题 1中心对称问题：点关于点成中心对称的对称中心恰是这两点为端点的线段的中点，因此中心对称的问题是线段中点坐标公式的应用问题 设P(x0，y0)，对称中心为A(a，b)，则P关于A的对称点为P(_，_) 2点关于直线成轴对称问题 由轴对称定义知，对称轴即为两对称点连线的“垂直平分线”利用“垂直”、“平分”这两个条件建立方程组，就可求出对称点的坐标一般情形如下：,2ax0,2by0,特殊地，点P(x0，y0)关于直线x=a的对称点为P(2a-x0，y0)；

3、点P(x0，y0)关于直线y=b的对称点为P(x0,2b-y0)； 点P(x0，y0)关于直线x-y=0(即y=x)的对称点为P(y0，x0)； 点P(x0，y0)关于直线x+y=0(即y=-x)的对称点为P(-y0，-x0),3曲线关于点、曲线关于直线的中心或轴对称问题 一般是转化为点的中心对称或轴对称(这里既可选特殊点，也可选任意点实施转化) 一般结论如下： (1)曲线f(x，y)=0关于已知点A(a，b)的对称曲线的方程是f(2a-x,2b-y)=0.,(2)曲线f(x，y)=0关于直线y=kx+b的对称曲线的求法： 设曲线f(x，y)=0上任意一点为P(x0，y0)，点P关于直线y=kx+b的对称点为P(x，y)，则由上面第三点知，P与P的坐标满 足 从中解出x0，y0，代入已知曲线f(x，y) = 0， 应有f(x0，y0)=0.利用坐标代换法就可求出曲线f(x，y)=0关于直线y=kx+b的对称曲线方程,4两点关于点对称、两点关于直线对称的常见结论： (1)点(x，y)关于x轴的对称点为_； (2)点(x，y)关于y轴的对称点为_； (3)点(x，y)关于原点的对称点为_；

4、 (4)点(x，y)关于直线x-y=0的对称点为_； (5)点(x，y)关于直线x+y=0的对称点为_,(x，y),(x，y),(x，y),(y，x),(y，x),基础自测,1(2012江西师大附中开学考卷)“a=3”是“直线ax+2y+2a=0和直线3x+(a-1)y-a+7=0平行”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件,2(2012阳江市模拟)已知直线l1：y2x3，直线l2与l1关于直线yx对称，则直线l2的斜率为 ( ) A. B C2 D2,3已知l1：2x+my+1=0与l2：y=3x-1，若两直线垂直，则m的值为 _.,解析： l2：3xy10，且l1l2，23m0，m6. 答案： 6,4经过直线3x2y10和x3y40的交点，且垂直于直线x3y40的直线l的方程为_,考 点 探 究,考点一,判定两直线的位置关系,【例1】 (1)已知两条直线y=ax-2和y=(a+2)x+1互相垂直，则a等于( ) A2 B1 C0 D-1 (2)已知两直线l1：x+m2y+6=0，l2：(m-2)x+3my+2m=0，当m为何值时，l1与l2

5、相交？平行？重合？ 思路点拨：依据两直线位置关系判断方法便可解决,解析：(1)两条直线yax2和y(a2)x1互相垂直，则a(a2)1， a1.故选D. (2)当m0时，l1：x60，l2：x0， l1l2. 当m2时，l1：x4y60，l2：3y20， l1与l2相交,当m0且m2时，由 得m1或m3，由 得m3. 故当m1，m3且m0时，l1与l2相交； 当m1或m0时，l1l2； 当m3时，l1与l2重合,点评：(1)若直线l1和l2有斜截式方程l1：y=k1x+b1，l2：y=k2x+b2，则直线l1l2的充要条件是k1k2=-1；直线l1l2的充要条件是k1=k2，且b1b2. (2)设l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0，则l1l2A1A2+B1B2=0；l1l2A1B2-A2B1=0，A1C2-A2C10. (3)对系数含参这类问题，要从直线有斜率、没有斜率两个方面进行分类讨论在确定参数的值时，应注意先讨论x，y系数为0的情况,变式探究,1(1)(2012深圳市松岗中学模拟)已知直线l1：(3+m)x+4y=5-3m与l2：2x+(5+m)y=8

6、平行，则实数m的值为( ) A-7 B-1 C-1或-7 D.,(2)ABC的三边a，b，c分别对应角A，B，C，若lg sin A，lg sin B，lg sin C成等差数列，则直线l1：xsin2A+ysin A=a与直线l2：xsin2B+ysin C=c的位置关系是( ) A不垂直的相交 B平行 C垂直相交 D重合 (3)(2012杭州市第十四中学月考)若存在直线l平行于直线3x-ky+6=0，且与直线kx+y+1=0垂直，则实数k=_.,解析：(1)依题意，有 ，解得m7(舍去m1)故选A. (2)提示：结合正弦定理考虑 (3)依题意，直线3xky60与直线kxy10互相垂直，可得k0. 答案：(1)A (2)D (3)0,考点二,求与已知直线平行或垂直的直线方程,【例2】 求过直线l1：5x+2y-3=0和l2：3x-5y-8=0的交点P，且(1)与直线x+4y-7=0平行的直线l的方程；(2)与直线x+4y-7=0垂直的直线l的方程 思路点拨：根据所求的直线与已知直线的位置关系，灵活选择直线方程的形式,解析：(1)(法一)由 求得l1与l2的交点P的坐标为(1，1) 因

7、为直线x4y70的斜率为 ，所以所求的直线l的斜率为 ，因此所求的直线方程为y1 (x1)，即x4y30. (法二)因为所求直线l与直线x4y70平行，故设所求的直线方程为x4ym0， 由 求得l1与l2的交点P的坐标为(1，1)将x1，y1代入上式得14m0，所以m3，所以所求的直线l的方程为 x4y30.,(2)(法一)由 求得l1与l2的交点P的坐标为(1，1) 因为直线x4y70的斜率为 ，所以直线l的斜率为4.因此满足条件的直线l的方程为y14(x1)，即4xy50.,(法二)由直线l垂直于直线x4y70，则可设直线l的方程为4xyt0. 因为l1与l2的交点为P(1，1)，所以41(1)t0，从而t5. 所以直线l的方程为4xy50. (法三)由于直线l过l1与l2的交点，所以直线l的方程为(5x2y3)(3x5y8)0，即(53)x(25)y380. 因为l与直线x4y70垂直，所以 4，从而 ，所以直线l的方程为4xy50.,点评：与直线l：Ax+By+C=0平行的直线可表示为Ax+By+C1=0；与直线l：Ax+By+C=0垂直的直线可表示为Bx-Ay+C1=0.,变

8、式探究,2已知ABC三个顶点A(2,0)，B(4,8)，C(0,6)，则AB边上的高线所在的直线方程是_，与边BC平行的三角形中位线所在的直线方程是_,解析：(1)kAB 4，对应的高线所在的直线斜率为k ，由点斜式可得高线所在的直线方程为y6 (x0)，即x4y240. (2)kBC ，线段AC的中点为(1,3)，所求中位线所在的直线方程为y3 (x1)，即x2y50. 答案：x4y240 x2y50,考点三,直线恒过定点问题,解析：将方程(2l+3)x+(l+4)y+2l-2=0(lR)整理为(2x+y+2)l+(4x+3y-2)=0，因为lR，所以必须有,代入直线方程得， 左边=(2l+3)x+(l+4)y+2l-2=0=右边，所以直线(2l+3)x+(l+4)y+2l-2=0(lR)过定点(-2,2),【例3】 已知不论 取任何实数，直线(2 +3)x+( +4)y+2 -2=0都恒过一定点，求这个定点的坐标,点评：直线的点斜式方程y-y0=k(x-x0)表明不论k取何值，该方程表示的直线恒过定点(x0，y0). 一般情况是形如A1x+B1y+C1+l(A2x+B2y+C2)=0的直线，若对任意的l值恒成立，则该直线恒过直线l1：A1x+B1y+C1=0与l2：A2x+B2y+C2=0的交点该直线系方程中，当l=0时，表示直线l1，但是，不论l取何值，都不能表示直线l2.,变式探究,3(1)不论

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