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[ppt模板]了解矢量

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  • 卖家[上传人]:tia****nde
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  • 上传时间:2019-01-17
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    • 1、了解矢量,已知条件:三条线段长度相等并相互平行,矢量分析,矢量 矢量可用有向线段来表示。 若在直角坐标系下, 可表示为 为单位矢量。 与x,y,z轴的夹角为 , , , 则,矢量分析,矢量的代数运算 矢量的加减法 几何作图法(平行四边形法则,三角形法则) 标量乘矢量,矢量分析,3.矢量的标积(点积,点乘) 任何两个矢量的标量积是个标量 满足交换律 分配律 若 则 与 正交,矢量分析,矢量的矢积(叉积,叉乘) 任何两个矢量的矢量积是个矢量 表示由 , 确定平面的法向。,矢量分析,在直角坐标系下 不服从交换率 服从分配率 可作为判断平行的条件 =0 或,矢量分析,5.矢量的混合运算 6.单位矢量,矢量分析,1.三种常用坐标系下的矢量场 1.直角坐标系(rectangular coordinate system) 用x,y,z表示,变化范围: 单位矢量 : 相互正交 长度单元: 矢量 表示为:,Cartesian coordinate system,2.柱坐标 cylindrical coordinate system 用 表示,变化范围: 单位矢量: 相互正交 矢量 表示为:,矢量分析,矢

      2、量分析,长度单元:,矢量分析,3.球坐标系 spherical coordinate system 用 表示,变化范围: 单位矢量: 相互正交 矢量 表示为:,矢量分析,长度单元: 为过该点球面法向; 为过该点向 增大的方向; 为过该点平行xy平面指向 增大的方向。,矢量分析,矢量分析,1.给定三个矢量 如下: 求(1) (2) (3) (4) (5) 和 2.证明两个矢量 和 是相互平行的。,标量、矢量与场,标量:只有大小,没有方向,这种物理量叫做标量,如温度T、电荷密度。 矢量:要用大小及方向同时表示的物理量叫矢量。如速度 ,电场强度 场:如果在空间域上,每一点都存在一确定的物理量A,我们就说:场域上存在由场量A构成的场。 如果A是标量,我们称场域上存在一标量场;同理如果 是矢量,则说明场域 上存在一矢量场。 场是物质存在的一种形态,但有别于实物粒子。在空间统一点上同时允许存在多种场,或者一种场的多种模式。这与实物粒子的不可入性和排他性有天壤之别。,方向导数,1.标量场的方向导数 设M0是标量场=(M)中的一个已知点,从M0出发沿某一方向引一条射线l, 在l上M0的邻近取一点M,M

      3、M0=,如图1-2所示。若当M趋于M0时(即趋于零时),,图 1-2 方向导数的定义,方向导数,的极限存在,则称此极限为函数(M)在点M0处沿l方向的方向导数,记为,若函数=(x, y, z)在点M0(x0, y0, z0)处可微,cos、cos、cos为l方向的方向余弦,则函数在点M0处沿l方向的方向导数必定存在,且为,标量场的梯度,2. 标量场的梯度 在直角坐标系中,令 式中 分别是l与 轴的夹角, 记为标量函数的梯度,标量场的梯度(gradient) 标量函数的梯度 -哈密顿算符,矢性的微分算符。 在直角坐标系下: 梯度的物理意义:在给定点处,梯度的方向表示最大方向导数的方向,其模值为最大方向导数的数值,它在任一方向的投影就是该方向的方向导数。 标量场的梯度是一个矢量,是空间坐标的函数。 梯度的旋度恒等于零。,常用梯度公式,矢量场的通量和散度,3 .矢量场的通量 将曲面的一个面元用矢量dS来表示,其方向取为面元的法线方向, 其大小为dS, 即是面元法线方向的单位矢量。 将曲面S各面元上的 相加,它表示矢量场 穿过整个曲面S的通量,也称为矢量 在曲面S上的面积分: 如果曲面是一个封

      4、闭曲面,则,矢量场的通量和散度,4.矢量场的散度 称此极限为矢量场 在某点的散度,记为 ,即散度的定义式为,矢量场的通量和散度,4.散度(divergence) 矢量场A的散度可表示为哈密顿微分算子与矢量A的标量积, 即 散度在直角坐标中的计算公式,矢量场的通量和散度,散度的意义与性质 矢量场中某点的散度表示矢量场在该点通量源(散度源)的强度,给出了散度源于矢量场各分量的空间变化率的关系。 高斯定理 矢量函数的面积分与体积分的互换。 该公式表明了区域V 中场 与边界S上的场 之间的关系。,矢量场的环量和旋度,在力场中,某一质点沿着指定的曲线c运动时,力场所做的功可表示为力场F沿曲线c的线积分,即,矢量场的环量和旋度,5.矢量场的旋度,矢量场的环量和旋度,旋度(rotation) 1.矢量场的旋度 在直角坐标系下,矢量场的环量和旋度,2.旋度的意义和性质 对于矢量场 ,在给定点 的方向为该点最大环量的方向, 的模为最大环量的数值。 矢量场表示矢量场的空间变化率,该变化率就等于引起矢量场的旋度源。,矢量场的环量和旋度,为拉普拉斯算符,矢量场的环量和旋度,3.斯托克斯公式: 因为旋度代表单位面积的环量,因此矢量场在闭合曲线l上的环量等于闭合曲线l所包围曲面S上旋度的总和, 即,矢量分析,4、散度与旋度对比 (1)都是描述矢量场在空间的变化 (2)旋度是矢量,散度是标量。 (3)旋度表示场点和旋涡源的关系; 散度表示场点和通量源的关系。 (4)旋度场描述矢量与它相垂直方向的变化规律; 散度场描述矢量沿它自身方向的变化规律。,矢量分析,5.无源场与无散场 矢量场的源:散度源,旋度源 仅由散度源产生的场 仅由旋度源产生的场,6.亥姆霍茨定理: 空间有限区域 内任一矢量场可由它的散度、旋度和边界条件唯一确定,并且它可以表示为一个梯度场和一个旋度场的叠加。 =0 边界条件(B.C.)指场域边界面(或线)上每一点的场值,

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