[理学]大学物理-电磁学部分

1、大学物理2 电磁学部分 电磁学研究的对象和内容：电磁学研究电荷和电流产生电场和磁场的规律，电磁场对电荷和电流的作用，电场和磁场的相互联系，电磁场对宏观物体的作用以及所引起的各种效应等。 第八章 真空中的静电场 8-1 电荷 库仑定律 1、电荷 摩擦起电现象 带电 带电体 起电：使物体带电的过程。 正电荷和负电荷。电荷之间存在相互作用力：同号电荷互相排斥，异号电荷互相吸引。近代物理认为：原子中的质子带正电荷，电子带负电荷，中子不带电荷。严格来讲，电荷并不是一个实体，而是某些基本粒子（如质子、电子）或带电体的一种属性。,带电体所带电荷的多少用电荷量或电量表示，记为q。单位： 库仑(C )。质子或电子所带电荷量的绝对值为最小的电荷量(元电荷量)： 带电体：正负电荷量的代数和不为零。电中性：正负电荷量的代数和为零。在导体中，电荷可以从一个地方自由移动到另一个地方。在绝缘体或电介质中，电荷不能从一个地方移动到另一个地方。 电荷守恒定律：在一个与外界没有电荷交换的系统内，正负电荷的代数和在任何物理过程中保持不变。,2、库仑定律 点电荷：忽略带电体的形状和大小，将所带总电荷量看成集中在一个几何点上。

2、 库仑定律：在真空中，两个静止点电荷之间相互作用力(常称为库仑力或静电力)的大小与这两个点电荷的电荷量q1和q2的乘积成正比，而与这两个点电荷之间的距离r12的平方成反比，作用力的方向沿着这两个点电荷的连线，同号电荷相斥，异号电荷相吸。 其中 称为真空介电常数或 真空电容率。,实验表明：两个静止点电荷之间的相互作用力是独立的，并不会因为第三个点电荷的存在而改变。 静电力的叠加原理：当真空中有两个以上的点电荷同时存在时，作用在某个点电荷上的总静电力等于其他各点电荷单独存在时对该点电荷所施静电力的矢量和。 8-2 电场 电场强度 1、电场 近代物理的观点认为：点电荷在其周围空间激发电场，该电场对处于其中的任何电荷都有作用力，该作用力称为电场(性)力。 电荷 电场 电荷 相对于观察者静止的电荷所产生的电场，称为静电场；分布随时间变化或运动电荷激发的电场为交变电场；交变的电场可以激发交变的磁场，交变的磁场又可以激发交变的电场，交变电磁场可以在空间传播，传播速度为光速，交变电磁场甚至可以脱离电荷或 电流而存在。,2、电场强度 试探电荷：尺寸很小、电量q0很少的电荷。 实验表明：在空间的同一点，尽

3、管电量q0不同的试探电荷所受的作用力 不同，但比值 却相同，该比值反映了电场在该点的特性，将其定义为该点处的电场强度，简称场强，是一矢量，用 表示： 单位为：伏特/米(V/m)。空间不同的点具有不同的电场强度，故电场强度是空间坐标的函数，即 电量为q的电荷处于电场中所受的电场力为：,3、场强的计算 (1)点电荷的场强： (2)场强叠加原理 如果电场是由n个点电荷q1,q2, .,qn共同激发的，根据静电力叠加原理： 两边除以q0得： 按场强的定义，就是：,上式表明：点电荷组在空间任一点所激发的总场强等于各 个点电荷单独存在时在该点各自激发的场强的矢量和，这就是 场强叠加原理。 (3)点电荷组的场强 点电荷组各个点电荷在场点P处单独激发的场强分别为： 按场强叠加原理，点电荷组在场点P处激发的总场强为： 两个等量异号，相距很近的点电荷所组成的点电荷组称为电偶极子。 称为电偶极矩。利用场强叠加原理可计算出电偶极子轴线的延长线上和中垂线上任一点的场强分别为：,(4)连续分布电荷的场强 在电荷连续分布的情形下，电荷元dq激发的元场强为： 根据场强叠加原理，可用积分代替求和计算出总场强： 线分布：

4、电荷线密度 ， 总场强 面分布：电荷面密度 ， 总场强 体分布：电荷体密度 ， 总场强,例：均匀带电直线线外任一点处的场强。 电荷线密度： 电荷元： 元场强： 在x轴和y轴的分量(投影)： 由几何关系可知： 又有 于是,积分得： 矢量表达式为： 场强的大小为： 与x轴的夹角为： 若直线为无限长，则 ，于是 可见，无限长均匀带电直线线外某点的场强，方向垂直于直线， 大小反比于该点到直线的距离。,例：均匀带电圆盘轴线上一点的场强。 电荷元： 元场强： 和 大小相等， 方向相反，两两互相 抵消，总场强只有x分量，而,所以 矢量表达式为： (1)对无限大均匀带电圆盘，即 ，有 这表明，在无限大均匀带电平面一侧，各点场强大小相等，方向 都与带电平面垂直。这种大小相等方向相同的电场称为均匀电场 或匀强电场。另一侧也是匀强电场，但电场方向相反。,(2)若xR，利用泰勒级数展开并忽略高次项可得： 于是， 相当于一个在圆盘圆心处，集中了圆盘所有电荷的点电荷所产生 的场强。这表明当所考虑的场点到带电体的距离远大于带电体本 身的尺寸时，带电体可看作是一个点电荷。 已知电荷分布计算场强的一般步骤：先任取电荷元

5、dq，写出dq 在待求点处场强的矢量式，再选取适当的坐标系，将这场强分 别投影到坐标轴上，然后进行积分，最后写出总场强的矢量表 达式，并算出总场强的大小和方向角。在计算过程中，注意利 用电荷分布的对称性。,4、电力线 电力线上每一点的切线方向与 该点处的场强 的方向相同。电力 线的密疏与场强的大小相对应。 静电场电力线的性质： (1)电力线起自正电荷(或来自无限 远处)，终止于负电荷(或伸向 无限远处)，不会在没有电荷的 地方中断。 (2)电力线不能形成闭合曲线。 (3)任何两条电力线不会相交。, 8-3 高斯定理 1、电场强度通量 在均匀电场中取一面积为S且与电 力线垂直的平面，乘积 称为通过该面积S的电场强度通量， 简称电通量或E通量。 如果平面的法线单位矢量 与 成 角，则电通量为： 电通量 取值可正可负。 对一般曲面，取一小面元dS，其 法线单位矢量为 ，则将 称为面元矢量，通过该面元的电通 量为：,通过整个曲面的电通量为： 若曲面是闭合曲面，则通过整个闭合曲面的电通量为： 对闭合曲面，面元矢量通常取外法向方向，即自内向外的方向为 面元矢量的正方向。这样，电力线从曲面之内向外穿

6、出处电通量 为正；反之，电力线从外部穿入曲面处电通量为负。 2、高斯定理 在静电场中，通过任一闭合曲面的电通量等于该曲面 所包围 的所有电荷电量 的代数和除以真空介电常数 ，与闭合曲面 外的电荷无关。,1)通过以点电荷q为球心的同心球面的电通量都等于q/0； 点电荷在以其自身为球心的球面上产生的场强为： 通过该闭合球面的电通量为：,2)通过包围点电荷q的任意闭合曲面的电通量都等于q/0； 在由点电荷产生的电场中，通过面元dS的电通量为： 其中dS为dS在半径为r的球面上的投影(或dS 为dS的边缘与q点的 连线在半径为r的球面上截出的面元)，d称为dS 或dS对q点所张 的立体角。同一面元dS在不同半径的球面上截出的面元对q点所张 的立体角相等，即有 故通过dS 、dS 和dS0的电通量 都相等。,通过包围点电荷q的整个闭合曲面的电通量为：,3)通过不包围点电荷的任意闭合曲面的电通量恒为零； 当点电荷q位于闭合曲面S之外时，由于dS1和dS2对q点所张的立 体角相等，故通过dS1和dS2的电通量大小相等，但符号相反(通过 dS1的电通量为负，通过dS2的电通量为正)，代数和为零。通过闭

7、 合曲面S的电通量是通过一对对类似dS1和dS2的面元的电通量之 和，显然恒等于零。 4)多个点电荷的电通量等于它们单独存在时的电通量的代数和。 设n个点电荷单独存在时产生的场强分别为 ，按场 强叠加原理，总场强为 ，这时，通过电场中 任一闭合曲面S的电通量为： 设第1个到第k个点电荷位于闭合曲面S内，第k+1个到第n个点电荷 位于闭合曲面S外，则,当电荷连续分布时： 当闭合曲面内的净电荷为正时， ，表示有电力线从+q处 发出并穿出闭合曲面；当闭合曲面内的净电荷为负时， ， 表示有电力线穿入闭合曲面并汇集到-q处；当闭合曲面内的净 电荷为零时， ，表示从某处穿入闭合曲面的电力线又从 另一处穿出闭合曲面，所以，电力线起于正电荷，止于负电荷， 不会在没有电荷处中断。 闭合曲面外的电荷虽然对通过闭合曲面的总电通量没有贡献， 但对闭合曲面上的场强却有贡献，会影响闭合曲面上场强的 分布和大小。 在电荷分布具有某种对称性，因而电场分布也具有一定的对称 性时，用高斯定理可方便地求出场强的分布。,3、高斯定理的应用 例：均匀带电球壳产生的电场。 对称性分析：电场强度方向沿矢径 方向，同一球面上各点的电

8、场强度的 大小相同。 因此，取一半径为r的同心球面作 为高斯面，按高斯定理： 于是 在球内(r R)， 可得 可见，均匀带电球壳内场强处处为零。,在球外(r R)， 可得 或 可见：均匀带电球壳外的场强与 将球壳 所带电量集中于球 心的点电荷产生的场强一样。 例：无限长均匀带电圆柱体壳产生 的电场。 对称性分析：与圆柱轴线距离相 等的各点，场强的大小相等，方向垂 直柱面呈辐射状。 取一半径为r，高度为h的共轴圆 柱面作为高斯面，则通过圆柱两底面 的电通量为零，按高斯定理有：,在圆柱内(r R)， ，可得 于是 8-4 静电场的环路定理 电势 1、静电场的环路定理 试探电荷q0在点电荷q产生的电场中移动元位移 ，电场力 对q0所作的功为：,试探电荷q0从A点移动到B点， 电场力所作的总功为： 上式表明：在静止点电荷q产 生的电场中，电场力对试探电荷 q0所作的功与路径无关，只与起 点和终点位置有关。 若试探电荷q0在点电荷组产生 的电场中移动，则其所受电场力为： 从A点移动到B点，电场力所作的总功为：,也与路径无关。 对电荷连续分布的情形，不难得出相同的结论。这就是说： 试探电荷在任何静

9、电场中移动时，电场力所做的功只与试探电荷 的大小以及路径的起点和终点的位置有关，而与路径无关。即静 电场力为保守力，静电场为保守力场。 考察试探电荷在静电场中绕闭合路 径L移动一周回到原位置的过程中电场 力所作的功：,由于 ，故有 称为静电场的环路定理。 如果静电场的电力线可以形成闭合曲线，则沿该电力线的线积 分 ，这与静电场的环路定理矛盾，故静电场的电力线不 可能形成闭合曲线。 2、电势 既然静电力为保守力，作功与路径无关，静电场为保守力场， 就可以引进一电势能函数W，它是试探电荷q0的电量和位置(坐标) 的函数，定义为： 其中WA和WB分别是A点和B点的电势能，而AAB则是试探电荷q0 从A点移动到B点的过程中静电场力对试探电荷所作的功。 常将无穷远点的电势能选定为零，即 ，于是 即静电场中任一点的电势能等于将试探电荷从该点移到无穷远处 电场力所作的功。,电势能与试探电荷的电量有关，不能直接描述电场中某给定点 处电场的性质，有鉴于此，定义另一标量函数： 它只是位置(坐标)的函数，称为A点的电势(电位)。 按照定义可以看出，静电场中某点的电势在数值上等于单位 正电荷放在该点处的电势能，也等于单位正电荷从该点经任意路 径移到无穷远处电场力所作的功。 电势的单位为伏特，符号：V，可取正值或负值。 静电场中任意两点A和B的电势差(电位差或电压)为： 可利用电势差来计算试探电荷q0从A点移到B点的过程中静电 力所作的功：,3、电势的计算 1)点电荷电场的电势 点电荷的电场 P点的电势 略去下标，可写为 2)点电荷组电场的电势,电势叠加原理：在点电荷组的静电场中，某点的电势等于各个 点电荷单独存在时在该点激发的电势的代数和。 3)连续分布电荷电场的电势 8-5 等势面 电场强度与电势梯度的关系 1

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